Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e fazer um esboço da parábola cuja equação é
. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das parábolas. Para resolver, vamos precisar da fórmula padrão da parábola, entender como identificar seus elementos principais e aplicar um pouco de álgebra para reescrever a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação
para deixá-la na forma mais fácil de trabalhar. Vamos isolar o termo que tem
:
Agora, dividimos todos os termos por 2 para deixar
sozinho:
Assim, conseguimos expressar
em função de
, o que facilita identificar os elementos da parábola.
Passo 3
A forma padrão de uma parábola vertical é
, onde
é o vértice da parábola. Comparando com a equação que obtivemos:
Perceba que não há termo de
dentro do parêntese, então
. O valor de
é
. Portanto, o vértice é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o foco e a diretriz. Sabemos que
. A distância do vértice ao foco (e também à diretriz) é dada por
:
Como
, a parábola abre para cima. Então, o foco fica acima do vértice:
A diretriz é uma linha horizontal abaixo do vértice:
Passo 5
Por fim, vamos esboçar a parábola. Sabemos que o vértice está em
, o foco em
e a diretriz é a reta
. Como
é positivo, a parábola abre para cima. Podemos marcar esses pontos no gráfico e desenhar a curva simétrica em relação ao eixo
.
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Esboço: Parábola com vértice em
, abrindo para cima, foco em e diretriz na reta .