Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são: 9 x^2-2 y+1=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e fazer um esboço da parábola cuja equação é . A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das parábolas. Para resolver, vamos precisar da fórmula padrão da parábola, entender como identificar seus elementos principais e aplicar um pouco de álgebra para reescrever a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação 9x^2 + 1 = 2y para deixá-la na forma mais fácil de trabalhar. Vamos isolar o termo que tem y = 92x^2 + 12 :
Agora, dividimos todos os termos por 2 para deixar sozinho:
Assim, conseguimos expressar em função de , o que facilita identificar os elementos da parábola.

Passo 3

A forma padrão de uma parábola vertical é y = 92x^2 + 12 , onde é o vértice da parábola. Comparando com a equação que obtivemos:
Perceba que não há termo de dentro do parêntese, então . O valor de é . Portanto, o vértice é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o foco e a diretriz. Sabemos que p = 14 times 92 = 118 . A distância do vértice ao foco (e também à diretriz) é dada por Foco: (0, 12 + 118) = (0, 1018) = (0, 59) :
Diretriz: y = 12 - 118 = 818 = 49
Como , a parábola abre para cima. Então, o foco fica acima do vértice:
A diretriz é uma linha horizontal abaixo do vértice:

Passo 5

Por fim, vamos esboçar a parábola. Sabemos que o vértice está em , o foco em e a diretriz é a reta . Como é positivo, a parábola abre para cima. Podemos marcar esses pontos no gráfico e desenhar a curva simétrica em relação ao eixo .

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Esboço: Parábola com vértice em , abrindo para cima, foco em e diretriz na reta .

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