Qual é o raio da circunferência que tem centro no ponto (-1,2) e é tangente a reta y=3 x-2 ?

Passo 1

Beleza, temos um círculo com centro no ponto (-1, 2) que é tangente à reta y = 3x - 2. Nosso objetivo é encontrar o raio desse círculo. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto (x0, y0) até uma reta da forma Ax + By + C = 0 é dada pela fórmula:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
Essa fórmula vai nos ajudar a calcular a distância entre o centro do círculo e a reta, que é exatamente o raio que estamos procurando.

Passo 3

A equação da reta dada é y = 3x - 2. Para usar a fórmula da distância, precisamos reescrever essa equação na forma padrão Ax + By + C = 0. Vamos fazer isso:
y - 3x + 2 = 0 implies -3x + y + 2 = 0
Então, os coeficientes são:
  • A = -3
  • B = 1
  • C = 2

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da distância usando o ponto (-1, 2):
d = |-3(-1) + 1(2) + 2|raiz(-3)^2 + 1^2 = |3 + 2 + 2|raiz9 + 1 = 7raiz10

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
d = 7raiz10 approx 73,162 approx 2,213
Portanto, o raio do círculo é aproximadamente 2,213 unidades.

Resposta

O raio da circunferência é 7raiz10 unidades, ou aproximadamente 2,213 unidades.

Exercícios relacionados