Nas Elipses abaixo, indique os focos, os vértices e o centro. Esboce os seus respectivos gráficos.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para identificar os focos, vértices e o centro de uma elipse, além de esboçar o gráfico dela. O conteúdo envolve o estudo das equações das elipses e como transformá-las para identificar seus elementos principais. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação geral da elipse na forma padrão e identificar os parâmetros que definem seus focos e vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a identificação dos elementos da elipse. A equação é:
Vamos agrupar os termos de e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de . Completar o quadrado é uma técnica que nos ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples, conhecida como forma padrão da elipse.
Para os termos de :
Factorizamos o coeficiente de :
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Portanto:
Para os termos de :
Factorizamos o coeficiente de :
Completando o quadrado:
Portanto:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Então:
Adicionando 101 aos dois lados:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 45 para obter a forma padrão da elipse:
A forma padrão de uma elipse é:
Onde é o centro, é o semieixo maior e é o semieixo menor.

Passo 6

Comparando com a forma padrão:
  • Centro :
  • então (semieixo maior)
  • então (semieixo menor)

Passo 7

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Calculando:
Como a maior extensão é no eixo , os focos estarão a uma distância do centro ao longo do eixo :
Focos: ou e
Vértices: Pontos mais distantes no eixo maior, a unidades do centro:
Vértices: ou e

Resposta

Centro:
Focos: e
Vértices: e

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Sejam e , determinar:
Seja e considere ainda uma matriz invertível tal que
Determine a matriz tal que .
Qual é o raio da circunferência que tem centro no ponto e é tangente a reta ?
Determine uma equação para a elipse que satisfaz as condições dadas:
(a) O comprimento do eixo maior 26 e focos e ;