Nas Elipses abaixo, indique os focos, os vértices e o centro. Esboce os seus respectivos gráficos.
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para identificar os focos, vértices e o centro de uma elipse, além de esboçar o gráfico dela. O conteúdo envolve o estudo das equações das elipses e como transformá-las para identificar seus elementos principais. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação geral da elipse na forma padrão e identificar os parâmetros que definem seus focos e vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a identificação dos elementos da elipse. A equação é:
Vamos agrupar os termos de e de :
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de . Completar o quadrado é uma técnica que nos ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples, conhecida como forma padrão da elipse.
Para os termos de :
Factorizamos o coeficiente de :
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Portanto:
Para os termos de :
Factorizamos o coeficiente de :
Completando o quadrado:
Portanto:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Então:
Adicionando 101 aos dois lados:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por 45 para obter a forma padrão da elipse:
A forma padrão de uma elipse é:
Onde é o centro, é o semieixo maior e é o semieixo menor.
Passo 6
Comparando com a forma padrão:
Centro :
então (semieixo maior)
então (semieixo menor)
Passo 7
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Calculando:
Como a maior extensão é no eixo , os focos estarão a uma distância do centro ao longo do eixo :
Focos: ou e
Vértices: Pontos mais distantes no eixo maior, a unidades do centro: