Nas Elipses abaixo, indique os focos, os vértices e o centro. Esboce os seus respectivos gráficos.
(b) 5 x^2+9 y^2-20 x-54 y=-56.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para identificar os focos, vértices e o centro de uma elipse, além de esboçar o gráfico dela. O conteúdo envolve o estudo das equações das elipses e como transformá-las para identificar seus elementos principais. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação geral da elipse na forma padrão e identificar os parâmetros que definem seus focos e vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a identificação dos elementos da elipse. A equação é:
5x^2 + 9y^2 - 20x -54y = -56
Vamos agrupar os termos de 5x^2 - 20x + 9y^2 -54y = -56 e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 5(x^2 - 4x) e de x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4. Completar o quadrado é uma técnica que nos ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples, conhecida como forma padrão da elipse.
Para os termos de 5[(x - 2)^2 - 4] = 5(x - 2)^2 - 20:
Factorizamos o coeficiente de 9(y^2 -6y):
y^2 -6y = (y -3)^2 -9
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
9[(y -3)^2 -9] = 9(y -3)^2 -81
Portanto:
Para os termos de :
Factorizamos o coeficiente de :
Completando o quadrado:
Portanto:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
5(x - 2)^2 - 20 + 9(y -3)^2 -81 = -56
Simplificando os termos constantes:
-20 -81 = -101
Então:
5(x - 2)^2 + 9(y -3)^2 -101 = -56
Adicionando 101 aos dois lados:
5(x - 2)^2 + 9(y -3)^2 = 45

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 45 para obter a forma padrão da elipse:
(x - 2)^29 + (y -3)^25 = 1
A forma padrão de uma elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro, é o semieixo maior e é o semieixo menor.

Passo 6

Comparando com a forma padrão:
  • Centro :
  • então (semieixo maior)
  • então (semieixo menor)

Passo 7

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
Calculando:
c = raiz9 - 5 = raiz4 = 2
Como a maior extensão é no eixo , os focos estarão a uma distância do centro ao longo do eixo :
Focos: ou e
Vértices: Pontos mais distantes no eixo maior, a unidades do centro:
Vértices: ou e

Resposta

Centro:
Focos: e
Vértices: e

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