Determine a equação do elipsoide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 que passa pelo ponto (1, 2, 3) e tem menor volume. (O volume do elipsoide é V = (4 a b c pi) / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um elipsoide que passa pelo ponto (1, 2, 3) e que tem o menor volume possível. Para isso, vamos usar um pouquinho de geometria e cálculo, especialmente o método de otimização chamado “Multiplicadores de Lagrange”. Vamos precisar entender como a equação do elipsoide funciona e como otimizar uma função com uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral do elipsoide:
Aqui, , e são os semi-eixos do elipsoide nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Como o ponto está no elipsoide, ele deve satisfazer a equação acima. Vamos substituir os valores de , e pelo ponto dado:
Essa é nossa restrição para o problema.

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de , e que minimizam o volume do elipsoide. A fórmula do volume é:
Vamos focar em minimizar o produto , já que o resto é constante.

Passo 5

Para minimizar com a restrição , vamos usar os Multiplicadores de Lagrange. Essa técnica ajuda a otimizar uma função com restrições.
Definimos a função auxiliar :
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , , e e igualar a zero:

Passo 7

Vamos resolver essas equações para encontrar , e . Observando as primeiras três equações, podemos relacionar , e :
  1. De
  2. De
  3. De
Dividindo a segunda equação pela primeira:
Fazendo o mesmo com a terceira equação e a primeira:

Passo 8

Agora sabemos que e . Vamos substituir esses valores na restrição original:
Então:

Resposta

A equação do elipsoide com menor volume que passa pelo ponto (1, 2, 3) é:

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