Determine a equação do elipsoide
que passa pelo ponto
e tem menor volume. (O volume do elipsoide é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um elipsoide que passa pelo ponto (1, 2, 3) e que tem o menor volume possível. Para isso, vamos usar um pouquinho de geometria e cálculo, especialmente o método de otimização chamado “Multiplicadores de Lagrange”. Vamos precisar entender como a equação do elipsoide funciona e como otimizar uma função com uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral do elipsoide:
Aqui,
,
e
são os semi-eixos do elipsoide nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Como o ponto
está no elipsoide, ele deve satisfazer a equação acima. Vamos substituir os valores de
,
e
pelo ponto dado:
Essa é nossa restrição para o problema.
Passo 4
Agora, queremos encontrar os valores de
,
e
que minimizam o volume do elipsoide. A fórmula do volume é:
Vamos focar em minimizar o produto
, já que o resto é constante.
Passo 5
Para minimizar
com a restrição
, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange. Essa técnica ajuda a otimizar uma função com restrições.
Definimos a função auxiliar
:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
e igualar a zero:
Passo 7
Vamos resolver essas equações para encontrar
,
e
. Observando as primeiras três equações, podemos relacionar
,
e
:
- De
- De
- De
Dividindo a segunda equação pela primeira:
Fazendo o mesmo com a terceira equação e a primeira:
Passo 8
Agora sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na restrição original:
Então:
Resposta
A equação do elipsoide com menor volume que passa pelo ponto (1, 2, 3) é:
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.
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