A temperatura no ponto
da placa circular
é dada por
. Determine o ponto mais quente e o ponto mais frio da placa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre encontrar o ponto mais quente e o mais frio numa placa circular definida pela equação
. A temperatura nesse ponto
é dada por
. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente otimização de funções em domínios fechados. Precisaremos achar os pontos críticos da função dentro da placa e também verificar a temperatura na borda da placa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
dentro da placa. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
As derivadas parciais são:
Igualando a zero:
Passo 3
Agora, temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em uma das equações:
Então, o único ponto crítico dentro da placa é
.
Passo 4
Vamos calcular a temperatura nesse ponto crítico:
Agora, precisamos verificar a temperatura na borda da placa, onde
.
Passo 5
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares na borda onde
e
, com
variando de
a
.
Substituindo na função de temperatura:
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos de
.
O termo
pode ser escrito como
, cujo valor varia entre
e
.
Portanto:
Passo 7
Vamos encontrar os pontos onde ocorrem esses valores.
Para
:
Então, o ponto é:
Para
:
Então, o ponto é:
Resposta
O ponto mais quente da placa está em
com temperatura
, e o ponto mais frio está em
com temperatura
.
Exercícios relacionados
Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Encontre a segunda solução da equação diferencial dada:
Determine a equação do elipsoide
que passa pelo ponto
e tem menor volume. (O volume do elipsoide é
.
Determine o valor mínimo de
sobre o plano
.