A temperatura no ponto da placa circular é dada por . Determine o ponto mais quente e o ponto mais frio da placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre encontrar o ponto mais quente e o mais frio numa placa circular definida pela equação . A temperatura nesse ponto é dada por . Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente otimização de funções em domínios fechados. Precisaremos achar os pontos críticos da função dentro da placa e também verificar a temperatura na borda da placa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da placa. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
As derivadas parciais são:
Igualando a zero:

Passo 3

Agora, temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em uma das equações:
Então, o único ponto crítico dentro da placa é .

Passo 4

Vamos calcular a temperatura nesse ponto crítico:
Agora, precisamos verificar a temperatura na borda da placa, onde .

Passo 5

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares na borda onde e , com variando de a .
Substituindo na função de temperatura:
Simplificando usando identidades trigonométricas:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos de .
O termo pode ser escrito como , cujo valor varia entre e .
Portanto:
í
á

Passo 7

Vamos encontrar os pontos onde ocorrem esses valores.
Para á:
Então, o ponto é:
Para í:
Então, o ponto é:

Resposta

O ponto mais quente da placa está em com temperatura , e o ponto mais frio está em com temperatura .

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