Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal ao gráfico da superfície dada pela equação no ponto . Vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo vetorial para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial para determinar o vetor normal à superfície nesse ponto.
A superfície dada é uma elipsoide, e podemos reescrever a equação como . O vetor gradiente de , , nos dá o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de :
No ponto , o gradiente fica:
Esse é o vetor normal ao plano tangente.
Passo 4
Agora, vamos usar a forma geral da equação de um plano:
onde são as componentes do vetor normal. Substituindo pelo nosso vetor gradiente:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 5
Expandindo os termos:
Agrupando os termos:
Mas como está na superfície, sabemos que . Então a equação do plano tangente fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as equações da reta normal à superfície no ponto . A reta normal passa por e tem a direção do vetor normal .
A forma paramétrica da reta é:
onde é o parâmetro.
Passo 7
Podemos simplificar as equações dividindo o numerador e denominador por 2:
Ou seja, as equações paramétricas da reta normal são:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: