Determine o valor mínimo de f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 sobre o plano x - y - z = 1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor mínimo da função no plano definido pela equação . Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar uma função com uma restrição.

Passo 2

O método de Lagrange funciona introduzindo um multiplicador de Lagrange, que vamos chamar de . Com isso, criamos uma nova função chamada função de Lagrange:
Aqui, ajusta a função original para considerar a restrição .

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos onde a função atinge seu mínimo no plano dado, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , , e , e igualá-las a zero:
  1. Derivada em relação a :
  2. Derivada em relação a :
  3. Derivada em relação a :
  4. Derivada em relação a :

Passo 4

Vamos resolver essas equações passo a passo:
  1. Da equação (1):
  2. Da equação (2):
    Igualando as duas expressões para :
  3. Da equação (3):
    Igualando com :
  4. Substituindo e na equação (4):
    Agora, encontramos e :

Resposta

O valor mínimo de sobre o plano é .

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