Determine o valor mínimo de
sobre o plano
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor mínimo da função
no plano definido pela equação
. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar uma função com uma restrição.
Passo 2
O método de Lagrange funciona introduzindo um multiplicador de Lagrange, que vamos chamar de
. Com isso, criamos uma nova função chamada função de Lagrange:
Aqui,
ajusta a função original para considerar a restrição
.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos onde a função
atinge seu mínimo no plano dado, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
, e igualá-las a zero:
-
Derivada em relação a
: -
Derivada em relação a
: -
Derivada em relação a
: -
Derivada em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver essas equações passo a passo:
-
Da equação (1):
-
Da equação (2):Igualando as duas expressões para
: -
Da equação (3):Igualando com
: -
Substituindo
e na equação (4): Agora, encontramose :
Resposta
O valor mínimo de
sobre o plano
é
.
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que passa pelo ponto
e tem menor volume. (O volume do elipsoide é
.
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