Determine a equação e esboce a elipse: vértices
e focos
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá as coordenadas dos vértices e dos focos da elipse. Para encontrar a equação dela e fazer um esboço, vamos precisar entender um pouco sobre as características das elipses, como os valores de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
, que representa a distância do centro da elipse até os vértices ao longo do eixo maior. Os vértices são
, então:
Em seguida, vamos encontrar o valor de
, que é a distância do centro até cada foco. Os focos são
, então:
Agora, precisamos descobrir o valor de
, que representa a distância do centro até a borda da elipse ao longo do eixo menor. A relação entre esses valores é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 3
Agora que temos os valores de
e
, podemos montar a equação padrão da elipse, que é:
Substituindo
e
:
Passo 4
Para esboçar a elipse, sabemos que ela está centrada na origem
, com o eixo maior ao longo do eixo
e o eixo menor ao longo do eixo
. Os vértices estão a
unidades do centro nos dois lados do eixo
, e os focos estão a
unidades do centro também ao longo do eixo
. Com
, o eixo menor se estende 2 unidades acima e abaixo do centro no eixo
.
Resposta
A equação da elipse é:
E o esboço da elipse tem centro na origem, vértices em
, focos em
e se estende 2 unidades no eixo
.