Determine a equação e esboce a elipse: vértices ( pm 5 / 2,0) e focos ( pm 3 / 2,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá as coordenadas dos vértices e dos focos da elipse. Para encontrar a equação dela e fazer um esboço, vamos precisar entender um pouco sobre as características das elipses, como os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de a = 52 , que representa a distância do centro da elipse até os vértices ao longo do eixo maior. Os vértices são c = 32 , então:
c^2 = a^2 - b^2
Em seguida, vamos encontrar o valor de (32)^2 = (52)^2 - b^2 94 = 254 - b^2 b^2 = 254 - 94 b^2 = 164 b = 2 , que é a distância do centro até cada foco. Os focos são , então:
Agora, precisamos descobrir o valor de , que representa a distância do centro até a borda da elipse ao longo do eixo menor. A relação entre esses valores é dada por:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 3

Agora que temos os valores de x^2a^2 + y^2b^2 = 1 e x^2(52)^2 + y^22^2 = 1 x^2254 + y^24 = 1 4x^225 + y^24 = 1 , podemos montar a equação padrão da elipse, que é:
Substituindo e :

Passo 4

Para esboçar a elipse, sabemos que ela está centrada na origem , com o eixo maior ao longo do eixo e o eixo menor ao longo do eixo . Os vértices estão a unidades do centro nos dois lados do eixo , e os focos estão a unidades do centro também ao longo do eixo . Com , o eixo menor se estende 2 unidades acima e abaixo do centro no eixo .

Resposta

A equação da elipse é:
4x^225 + y^24 = 1
E o esboço da elipse tem centro na origem, vértices em , focos em e se estende 2 unidades no eixo .

Exercícios relacionados