Sabendo que a rotação das coordenadas (x, y) para (x^prime, y^prime) é dada por binomxy=R(theta)binomx^primey^prime, onde R(theta)=(rrcos theta & -sen theta sen theta & cos theta) é a matriz de rotação no sentido anti-horário, resolva os exercícios abaixo. Determine qual a rotação do plano x y em que as coordenadas do ponto P=(raiz3, 1) são P^prime=(raiz3,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma rotação das coordenadas no plano, onde um ponto vira após uma rotação de um certo ângulo . Nosso objetivo é descobrir qual é esse ângulo .
Conteúdo da matéria: Matrizes de rotação no plano e transformação de coordenadas.
O que vamos precisar:
  • Entender como funciona a matriz de rotação.
  • Aplicar a matriz de rotação aos pontos dados.
  • Resolver as equações resultantes para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a matriz de rotação. A matriz R(theta) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta que gira as coordenadas no sentido anti-horário é dada por:
x y = R(theta) x' y'
Quando aplicamos essa matriz a um ponto , obtemos o ponto rotacionado :

Passo 3

Vamos aplicar essa transformação ao ponto raiz3 1 = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta raiz3 -1 para obter . Substituindo na equação da rotação:

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz pela coluna:
raiz3 cos theta - (-1) sin theta raiz3 sin theta + (-1) cos theta = raiz3 cos theta + sin theta raiz3 sin theta - cos theta
Esse resultado deve ser igual a raiz3 1 , então temos as seguintes equações:
raiz3 cos theta + sin theta = raiz3 (1)
raiz3 sin theta - cos theta = 1 (2)

Passo 5

Vamos resolver essas duas equações para encontrar raiz3 cos theta + sin theta = raiz3 .
Começando pela equação (1):
raiz3 cos theta + sin theta - raiz3 = 0
Vamos isolar os termos com :

Passo 6

Agora, vamos olhar para a equação (2):
raiz3 sin theta - cos theta = 1
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Podemos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 7

Para simplificar, podemos usar a identidade raiz3 cos theta + sin theta = raiz3 depois de encontrar sin theta = raiz3 - raiz3 cos theta e das equações (1) e (2). Mas, para resolver diretamente, vamos tentar expressar em termos de ou vice-versa.
Vamos rearranjar a equação (1):

Passo 8

Agora, substituímos raiz3 (raiz3 - raiz3 cos theta) - cos theta = 1 encontrado na equação (1) na equação (2):
3 - 3 cos theta - cos theta = 1
3 - 4 cos theta = 1

Passo 9

Resolvendo para -4 cos theta = 1 - 3 :
-4 cos theta = -2
cos theta = -2-4 = 12

Passo 10

Agora que temos , vamos encontrar . Sabemos que quando ou .
Vamos verificar qual desses ângulos satisfaz a segunda equação.

Passo 11

Vamos verificar raiz3 cdot raiz32 - 12 = 32 - 12 = 1 :
Sabemos que raiz3 cdot (-raiz32) - 12 = -32 - 12 = -2 neq 1 .
Substituindo na equação (2):
Isso satisfaz a equação (2).
Agora, vamos verificar :
Sabemos que .
Substituindo na equação (2):
Portanto, não satisfaz a equação.

Resposta

A rotação do plano é de no sentido anti-horário.

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