Sabendo que a rotação das coordenadas
para
é dada por
, onde
é a matriz de rotação no sentido anti-horário, resolva os exercícios abaixo. Determine qual a rotação do plano
em que as coordenadas do ponto
são
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma rotação das coordenadas no plano, onde um ponto
vira
após uma rotação de um certo ângulo
. Nosso objetivo é descobrir qual é esse ângulo
.
Conteúdo da matéria: Matrizes de rotação no plano e transformação de coordenadas.
O que vamos precisar:
- Entender como funciona a matriz de rotação.
- Aplicar a matriz de rotação aos pontos dados.
- Resolver as equações resultantes para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a matriz de rotação. A matriz
que gira as coordenadas no sentido anti-horário é dada por:
Quando aplicamos essa matriz a um ponto
, obtemos o ponto rotacionado
:
Passo 3
Vamos aplicar essa transformação ao ponto
para obter
. Substituindo na equação da rotação:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pela coluna:
Esse resultado deve ser igual a
, então temos as seguintes equações:
Passo 5
Vamos resolver essas duas equações para encontrar
.
Começando pela equação (1):
Vamos isolar os termos com
:
Passo 6
Agora, vamos olhar para a equação (2):
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Podemos resolver esse sistema para encontrar
.
Passo 7
Para simplificar, podemos usar a identidade
depois de encontrar
e
das equações (1) e (2). Mas, para resolver diretamente, vamos tentar expressar
em termos de
ou vice-versa.
Vamos rearranjar a equação (1):
Passo 8
Agora, substituímos
encontrado na equação (1) na equação (2):
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora que temos
, vamos encontrar
. Sabemos que
quando
ou
.
Vamos verificar qual desses ângulos satisfaz a segunda equação.
Passo 11
Vamos verificar
:
Sabemos que
.
Substituindo na equação (2):
Isso satisfaz a equação (2).
Agora, vamos verificar
:
Sabemos que
.
Substituindo na equação (2):
Portanto,
não satisfaz a equação.
Resposta
A rotação do plano
é de
no sentido anti-horário.