Utilizando translações e rotações, reduza a equação a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente. Especifique a medida em radianos do ângulo de rotação utilizado e os parâmetros geométricos da cônica
e/ou
), e esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação quadrática com termos misturados de
e
. O objetivo é simplificar essa equação usando translações e rotações para chegar numa forma mais fácil de identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de rotação de coordenadas e como identificar os parâmetros das cônicas após a simplificação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Observamos que temos um termo misto
, o que sugere que a cônica está rotacionada em relação aos eixos. Para eliminar esse termo, vamos aplicar uma rotação de coordenadas.
Passo 3
A rotação de coordenadas é dada pelas transformações:
Nosso objetivo é escolher o ângulo
de forma que o termo
desapareça na nova equação.
Passo 4
Para eliminar o termo
, usamos a condição:
Onde na nossa equação original
,
e
. Então:
Portanto, o ângulo de rotação
é:
Passo 5
Calculando o valor de
em radianos:
Passo 6
Agora, substituímos as transformações na equação original:
Explicando, estamos aplicando a rotação de coordenadas para simplificar a equação.
Passo 7
Expandindo e simplificando a equação após a substituição, e escolhendo
de forma que o termo
desapareça, chegamos a uma forma simplificada:
Onde
e
são coeficientes ajustados após a rotação.
Passo 8
Isolando os termos quadráticos:
Dividindo ambos os lados por
para padronizar a equação:
Essa é a forma padrão de uma elipse ou hipérbole, dependendo dos sinais dos denominadores.
Passo 9
Identificamos os parâmetros geométricos:
- Para uma elipse:
- Para uma hipérbole:
Dependendo se
e
são ambos positivos ou têm sinais opostos.
Passo 10
No nosso caso específico, após a simplificação, vemos que os denominadores são positivos e diferentes, indicando que temos uma elipse. Portanto, os parâmetros geométricos são
e
, que correspondem aos semi-eixos maiores e menores da elipse.
Resposta
Após realizar uma rotação de coordenadas com um ângulo de aproximadamente
radianos, a equação
simplifica-se para a forma padrão de uma elipse:
Os parâmetros geométricos são
e
, representando os semi-eixos da elipse. O gráfico resultante é uma elipse centrada na origem dos novos eixos rotacionados.