Utilizando translações e rotações, reduza a equação a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente. Especifique a medida em radianos do ângulo de rotação utilizado e os parâmetros geométricos da cônica (a, b e/ou c ), e esboce seu gráfico. 5 x^2+2 x y+2 y^2+2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação quadrática com termos misturados de e . O objetivo é simplificar essa equação usando translações e rotações para chegar numa forma mais fácil de identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de rotação de coordenadas e como identificar os parâmetros das cônicas após a simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
5x^2 + 2xy + 2y^2 + 2 = 0
Observamos que temos um termo misto , o que sugere que a cônica está rotacionada em relação aos eixos. Para eliminar esse termo, vamos aplicar uma rotação de coordenadas.

Passo 3

A rotação de coordenadas é dada pelas transformações:
x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta
Nosso objetivo é escolher o ângulo de forma que o termo desapareça na nova equação.

Passo 4

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , usamos a condição:
tan(2theta) = 25 - 2 = 23
Onde na nossa equação original 2theta = arctan(23) Rightarrow theta = 12 arctan(23) , e . Então:
Portanto, o ângulo de rotação é:

Passo 5

Calculando o valor de theta = 12 arctan(23) approx 12 times 0,588 approx 0,294 radianos em radianos:

Passo 6

Agora, substituímos as transformações na equação original:
5(x'costheta - y'sintheta)^2 + 2(x'costheta - y'sintheta)(x'sintheta + y'costheta) + 2(x'sintheta + y'costheta)^2 + 2 = 0
Explicando, estamos aplicando a rotação de coordenadas para simplificar a equação.

Passo 7

Expandindo e simplificando a equação após a substituição, e escolhendo Ax'^2 + Cy'^2 + D = 0 de forma que o termo desapareça, chegamos a uma forma simplificada:
Onde e são coeficientes ajustados após a rotação.

Passo 8

Isolando os termos quadráticos:
Ax'^2 + Cy'^2 = -D
Dividindo ambos os lados por x'^2-DA + y'^2-DC = 1 para padronizar a equação:
Essa é a forma padrão de uma elipse ou hipérbole, dependendo dos sinais dos denominadores.

Passo 9

Identificamos os parâmetros geométricos:
  • Para uma elipse:
x'^2a^2 + y'^2b^2 = 1
  • Para uma hipérbole:
x'^2a^2 - y'^2b^2 = 1
Dependendo se e são ambos positivos ou têm sinais opostos.

Passo 10

No nosso caso específico, após a simplificação, vemos que os denominadores são positivos e diferentes, indicando que temos uma elipse. Portanto, os parâmetros geométricos são e , que correspondem aos semi-eixos maiores e menores da elipse.

Resposta

Após realizar uma rotação de coordenadas com um ângulo de aproximadamente x'^2a^2 + y'^2b^2 = 1 radianos, a equação simplifica-se para a forma padrão de uma elipse:
Os parâmetros geométricos são e , representando os semi-eixos da elipse. O gráfico resultante é uma elipse centrada na origem dos novos eixos rotacionados.

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