Determine uma equação da esfera com centro que é tangente ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto e que toca o plano . Isso envolve entender de geometria analítica, especificamente sobre esferas e planos. Para resolver, vamos precisar descobrir o raio da esfera, que é a distância entre o centro da esfera e o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma esfera é dada por:

onde é o centro da esfera e é o raio. Já sabemos o centro, então precisamos encontrar o raio .

Passo 3

Para encontrar o raio, que é a distância entre o centro da esfera e o plano, usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :

No nosso caso, o plano é , que podemos reescrever como . Então, , , , e . O ponto é .

Passo 4

Vamos aplicar os valores na fórmula da distância:

Então, o raio .

Resposta

A equação da esfera é:

Ou simplificando:

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Obtenha equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados.
69.
Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. d) perpendicular ao eixo e que passa pelo ponto .
Sabendo que e que e formam ângulo de , determinar:
(a) ;
Obtenha equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados.
70.