Determine uma equação da esfera com centro (2,1,-3) que é tangente ao plano x-3 y+2 z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que tem o centro no ponto (2,1,-3) e que toca o plano x - 3y + 2z = 4. Isso envolve entender de geometria analítica, especificamente sobre esferas e planos. Para resolver, vamos precisar descobrir o raio da esfera, que é a distância entre o centro da esfera e o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma esfera é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
onde (h,k,l) é o centro da esfera e r é o raio. Já sabemos o centro, então precisamos encontrar o raio r.

Passo 3

Para encontrar o raio, que é a distância entre o centro da esfera e o plano, usamos a fórmula da distância de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, o plano é x - 3y + 2z = 4, que podemos reescrever como x - 3y + 2z - 4 = 0. Então, A=1, B=-3, C=2, e D=-4. O ponto é (2,1,-3).

Passo 4

Vamos aplicar os valores na fórmula da distância:
d = |1 cdot 2 + (-3) cdot 1 + 2 cdot (-3) - 4|raiz1^2 + (-3)^2 + 2^2 = |2 - 3 - 6 - 4|raiz1 + 9 + 4 = |-11|raiz14 = 11raiz14
Então, o raio r = 11raiz14.

Resposta

A equação da esfera é:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = (11raiz14)^2
Ou simplificando:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 12114

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