Sabendo que |u|=raiz2,|v|=raiz3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4, determinar:
(a) |(2 u-v) cdot(u-2 v)|;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois vetores, e , com as seguintes informações:
  • A norma de é
  • A norma de é
  • O ângulo entre e é radianos
O que precisamos descobrir é o valor absoluto do produto interno entre os vetores e , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como norma de vetores, produto interno e propriedades dos ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta) e cos(3pi4) = -raiz22 é dado por:
onde é o ângulo entre os vetores.
Nos foi dado o ângulo , então vamos precisar do cosseno desse ângulo. Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(3pi4) = raiz2 cdot raiz3 cdot (-raiz22) usando a fórmula mencionada:
u cdot v = raiz6 cdot (-raiz22) = -raiz122 = -2raiz32 = -raiz3
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos expandir o produto (2u - v) cdot (u - 2v) = 2u cdot u - 4u cdot v - v cdot u + 2v cdot v . Vamos usar a propriedade distributiva do produto interno:
= 2u cdot u - 5u cdot v + 2v cdot v
Lembrando que , simplificamos para:

Passo 5

Vamos calcular cada termo individualmente:
  1. 2(2) - 5(-raiz3) + 2(3) = 4 + 5raiz3 + 6 = 10 + 5raiz3
  2. Já calculamos
Substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor absoluto desse resultado:
|10 + 5raiz3|
Como 10 + 5raiz3 é positivo, o valor absoluto é ele mesmo:

Resposta

Portanto, .

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