Obtenha equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados.
69.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois planos dados pelas equações:
O objetivo é encontrar as equações paramétricas da reta onde esses dois planos se intersectam. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo planos e linhas no espaço tridimensional.
Passo 2
Para encontrar a reta de interseção, precisamos encontrar pontos que satisfazem as duas equações dos planos simultaneamente. Uma estratégia comum é resolver o sistema de equações formado pelas duas equações dos planos para expressar duas das variáveis em termos da terceira.
Vamos escolher resolver para e em termos de . Isso significa que vamos tratar como um parâmetro, digamos .
Passo 3
Primeiro, vamos expressar em função de usando a equação do segundo plano :
Agora, substituímos essa expressão de na equação do primeiro plano :
Passo 4
Vamos simplificar a equação resultante:
Agora, isolamos :
Passo 5
Agora que temos em função de , e anteriormente em função de e , podemos expressar também em função de :
Passo 6
Agora, para escrever as equações paramétricas da reta, escolhemos , onde é o parâmetro. Substituindo nas expressões para e , temos:
Resposta
As equações paramétricas da reta de interseção dos planos são: