Obtenha equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados.
69. pi1:-2 x+3 y+7 z+2=0
pi2: x+2 y-3 z+5=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois planos dados pelas equações:
pi1: -2x + 3y + 7z + 2 = 0
pi2: x + 2y - 3z + 5 = 0
O objetivo é encontrar as equações paramétricas da reta onde esses dois planos se intersectam. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo planos e linhas no espaço tridimensional.

Passo 2

Para encontrar a reta de interseção, precisamos encontrar pontos que satisfazem as duas equações dos planos simultaneamente. Uma estratégia comum é resolver o sistema de equações formado pelas duas equações dos planos para expressar duas das variáveis em termos da terceira.
Vamos escolher resolver para e em termos de . Isso significa que vamos tratar como um parâmetro, digamos .

Passo 3

Primeiro, vamos expressar x + 2y - 3z + 5 = 0 implies x = -2y + 3z - 5 em função de -2(-2y + 3z - 5) + 3y + 7z + 2 = 0 usando a equação do segundo plano :
Agora, substituímos essa expressão de na equação do primeiro plano :

Passo 4

Vamos simplificar a equação resultante:
4y - 6z + 10 + 3y + 7z + 2 = 0
(4y + 3y) + (-6z + 7z) + (10 + 2) = 0
7y + z + 12 = 0
Agora, isolamos 7y = -z - 12 implies y = -17z - 127 :

Passo 5

Agora que temos x = -2(-17z - 127) + 3z - 5 em função de x = 27z + 247 + 3z - 5 , e anteriormente x = (27 + 3)z + (247 - 5) em função de x = 237z - 117 e , podemos expressar também em função de :

Passo 6

Agora, para escrever as equações paramétricas da reta, escolhemos x = 237t - 117 , onde y = -17t - 127 é o parâmetro. Substituindo z = t nas expressões para e , temos:

Resposta

As equações paramétricas da reta de interseção dos planos são:
x = dfrac237t - dfrac117 y = -dfrac17t - dfrac127 z = t
onde é o parâmetro real.

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