Obtenha equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados.
69.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois planos dados pelas equações:
O objetivo é encontrar as equações paramétricas da reta onde esses dois planos se intersectam. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo planos e linhas no espaço tridimensional.

Passo 2

Para encontrar a reta de interseção, precisamos encontrar pontos que satisfazem as duas equações dos planos simultaneamente. Uma estratégia comum é resolver o sistema de equações formado pelas duas equações dos planos para expressar duas das variáveis em termos da terceira.
Vamos escolher resolver para e em termos de . Isso significa que vamos tratar como um parâmetro, digamos .

Passo 3

Primeiro, vamos expressar em função de usando a equação do segundo plano :
Agora, substituímos essa expressão de na equação do primeiro plano :

Passo 4

Vamos simplificar a equação resultante:
Agora, isolamos :

Passo 5

Agora que temos em função de , e anteriormente em função de e , podemos expressar também em função de :

Passo 6

Agora, para escrever as equações paramétricas da reta, escolhemos , onde é o parâmetro. Substituindo nas expressões para e , temos:

Resposta

As equações paramétricas da reta de interseção dos planos são:
onde é o parâmetro real.

Exercícios relacionados

Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. d) perpendicular ao eixo e que passa pelo ponto .
Determine uma equação do plano nos casos citados.
64. b) passa pelo ponto e tem como um vetor normal.
Determine uma equação da esfera com centro que é tangente ao plano .
Sabendo que e que e formam ângulo de , determinar:
(a) ;