Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a. (e^x sen(y) - 3 x^2) dx + (e^x cos(y) + y^(-2/3)/3) dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente resolve ela. A matéria aqui é sobre equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar as funções e que multiplicam e respectivamente, e depois verificar se a condição de exatidão é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na equação:
Então,

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando :
Porque a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é zero.

Passo 5

Agora, calculando :
Aqui, a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é zero, já que não depende de .

Passo 6

Comparando as duas derivadas:
Como são iguais, a condição de exatidão é satisfeita. Então, a equação é exata!

Passo 7

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos resolver encontrando uma função tal que:
Para isso, integramos em relação a :

Passo 8

Integrando termo a termo:
Então,
Onde é uma função que depende apenas de , a “constante” de integração.

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os dois lados:
Então,

Passo 10

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Agora, substituímos na função :

Resposta

A solução geral da equação é:

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