Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente resolve ela. A matéria aqui é sobre equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar as funções
e
que multiplicam
e
respectivamente, e depois verificar se a condição de exatidão é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na equação:
Então,
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calculando
:
Porque a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 5
Agora, calculando
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é zero, já que não depende de
.
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Como são iguais, a condição de exatidão é satisfeita. Então, a equação é exata!
Passo 7
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos resolver encontrando uma função
tal que:
Para isso, integramos
em relação a
:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Então,
Onde
é uma função que depende apenas de
, a “constante” de integração.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os dois lados:
Então,
Passo 10
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Agora, substituímos
na função
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
.
As seguintes funções são contínuas em todos pontos no plano
? Justifique cada resposta.
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. Conjunto de nível 1 da função
é uma reta.
Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
.