Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a. (y e^(x y) - 1/y) dx + (x e^(x y) + x/y^2) dy = 0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação que temos: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa equação é exata. Equações exatas são aquelas que podem ser escritas como a derivada total de uma função potencial. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para verificar a exatidão e, se for o caso, encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação que multiplicam e . Chamamos essas partes de e respectivamente. Então, temos:
A condição para que a equação seja exata é que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, :
Agora, :

Passo 4

Observamos que:
Como as duas derivadas parciais são iguais, a condição de exatidão está satisfeita. Portanto, a equação dada é exata e podemos prosseguir para encontrar a solução.

Passo 5

Para encontrar a solução, precisamos determinar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e que vamos determinar no próximo passo.

Passo 6

Para encontrar , diferenciamos em relação a e igualamos a :
Assim, temos:
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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