Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na equação que temos:
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa equação é exata. Equações exatas são aquelas que podem ser escritas como a derivada total de uma função potencial. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para verificar a exatidão e, se for o caso, encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação que multiplicam
e
. Chamamos essas partes de
e
respectivamente. Então, temos:
A condição para que a equação seja exata é que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 4
Observamos que:
Como as duas derivadas parciais são iguais, a condição de exatidão está satisfeita. Portanto, a equação dada é exata e podemos prosseguir para encontrar a solução.
Passo 5
Para encontrar a solução, precisamos determinar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e que vamos determinar no próximo passo.
Passo 6
Para encontrar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim, temos:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.