Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
(b) (2 x + y) dx - (x + 6 y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O que a gente precisa fazer aqui é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução dela. Isso tudo faz parte do estudo de Equações Diferenciais Exatas na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma é exata se existir uma função tal que:
Em outras palavras, é uma função cuja derivada parcial em relação a x M e em relação a y N.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais cruzadas de M e N e ver se elas são iguais. Ou seja, precisamos verificar se:
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas:
Como , a condição de exatidão não é satisfeita. Portanto, a equação não é exata.

Resposta

A equação não é exata.

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