Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente resolve ela passo a passo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar as partes da equação e verificar a condição de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa equação diferencial:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . A condição de exatidão é:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, isso confirma que a equação é exata.

Passo 7

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e aparece por conta da constante de integração.

Passo 8

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante.

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Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
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Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.