Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente resolve ela passo a passo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais exatas. Vamos precisar identificar as partes da equação e verificar a condição de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa equação diferencial:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. A condição de exatidão é:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Como elas são iguais, isso confirma que a equação é exata.
Passo 7
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece por conta da constante de integração.
Passo 8
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante.
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Nos Problemas abaixo resolva o problema de valor inicial dado.
Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de
naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
.
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.