Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial e precisamos verificar se ela é exata. Se for, a gente resolve. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se as derivadas parciais satisfazem uma condição específica para exatidão.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
na equação dada:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Passo 4
Comparamos as duas derivadas parciais:
Vemos que são iguais, ou seja:
Isso confirma que a equação é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação é:
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Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante: