Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial e precisamos verificar se ela é exata. Se for, a gente resolve. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se as derivadas parciais satisfazem uma condição específica para exatidão.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e na equação dada:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :

Passo 4

Comparamos as duas derivadas parciais:
Vemos que são iguais, ou seja:
Isso confirma que a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende somente de .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação é:

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Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante: