Nos Problemas abaixo resolva o problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e precisamos encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem . Começamos adicionando aos dois lados da equação:

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por :
Isso ainda não separa as variáveis, então precisamos manipular a equação para conseguir isso.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por e reorganizar os termos:
Agora, vamos tentar expressar tudo em termos de e .

Passo 5

Perceba que a equação ainda não está pronta para separação direta. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Seja . Então, .

Passo 6

Substituímos pela expressão em termos de :
A equação original fica:
Mas como , substituímos:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por 2 para simplificar:
Reorganizando:

Passo 8

Agora, temos uma equação diferencial linear na forma padrão:
Onde e . Para resolver, usamos o fator integrante:

Passo 9

Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 10

Integrando ambos os lados em relação a :
Usamos integração por partes para resolver a integral:
Seja e , então e .
Aplicando integração por partes:

Passo 11

Voltando à equação:
Multiplicamos ambos os lados por para resolver para :
Lembrando que :

Passo 12

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
.
Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.