Nos Problemas abaixo resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e precisamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem
. Começamos adicionando
aos dois lados da equação:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
:
Isso ainda não separa as variáveis, então precisamos manipular a equação para conseguir isso.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados por
e reorganizar os termos:
Agora, vamos tentar expressar tudo em termos de
e
.
Passo 5
Perceba que a equação ainda não está pronta para separação direta. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Seja
. Então,
.
Passo 6
Substituímos
pela expressão em termos de
:
A equação original fica:
Mas como
, substituímos:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por 2 para simplificar:
Reorganizando:
Passo 8
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma padrão:
Onde
e
. Para resolver, usamos o fator integrante:
Passo 9
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 10
Integrando ambos os lados em relação a
:
Usamos integração por partes para resolver a integral:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Passo 11
Voltando à equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Lembrando que
:
Passo 12
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de
naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
.
Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.