Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a equação diferencial é exata e, se for, resolvê-la. Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas, que fazem parte do conteúdo de Equações Diferenciais em cálculo. Para isso, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se sim, encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos identificar:
  • (o coeficiente de )
  • (o coeficiente de )

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais cruzadas de e . Ou seja, calculamos:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculemos :
Agora, calculamos :

Passo 5

Comparando os resultados:
Como as duas derivadas são iguais, concluímos que a equação diferencial é exata.

Passo 6

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função tal que:
Para isso, vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 7

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Subtraindo de ambos os lados:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante: