Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a equação diferencial é exata e, se for, resolvê-la. Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas, que fazem parte do conteúdo de Equações Diferenciais em cálculo. Para isso, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se sim, encontrar uma função que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos identificar:
-
(o coeficiente de ) -
(o coeficiente de )
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais cruzadas de
e
. Ou seja, calculamos:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calculemos
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Comparando os resultados:
Como as duas derivadas são iguais, concluímos que a equação diferencial é exata.
Passo 6
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Para isso, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 7
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Subtraindo
de ambos os lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é:
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Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
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