Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de
naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
no intervalo
. Nosso objetivo é verificar se o Teorema de Rolle se aplica nesse intervalo e, se sim, encontrar todos os valores de
que satisfazem a conclusão do teorema. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e quais são suas hipóteses.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema de Rolle? Ele diz que se uma função
é contínua no intervalo fechado
, derivável no intervalo aberto
, e
, então existe pelo menos um número
em
tal que a derivada
.
Passo 3
Então, para aplicar o Teorema de Rolle, precisamos verificar três coisas:
- A função
é contínua no intervalo ? - A função
é derivável no intervalo ? -
?
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 4
1. Continuidade de
em
:
A função
é composta por funções racionais, que são contínuas em todos os pontos onde o denominador não �� zero. No nosso intervalo
,
nunca é zero, então
é contínua em
.
Passo 5
2. Derivabilidade de
em
:
Funções racionais são deriváveis em seus dom��nios. Já estabelecemos que no intervalo
,
, então
é derivável em
.
Passo 6
3. Igualdade de
e
:
Vamos calcular
e
:
Então,
.
Passo 7
Como todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas, sabemos que existe pelo menos um
em
tal que
. Vamos encontrar esse valor de
.
Passo 8
Encontrando
:
Vamos derivar
:
Derivando termo a termo:
Passo 9
Encontrando
onde
:
Vamos resolver essa equação:
Primeiro, multiplique ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, resolva para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a conclusão do Teorema de Rolle no intervalo
é
.
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Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que,
quando
.
Nos Problemas abaixo resolva o problema de valor inicial dado.
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.