Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de c naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
f(x) = 1/x^2 - 4/(3x) + 1/3, [1, 3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função no intervalo . Nosso objetivo é verificar se o Teorema de Rolle se aplica nesse intervalo e, se sim, encontrar todos os valores de que satisfazem a conclusão do teorema. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e quais são suas hipóteses.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Rolle? Ele diz que se uma função é contínua no intervalo fechado , derivável no intervalo aberto , e , então existe pelo menos um número em tal que a derivada .

Passo 3

Então, para aplicar o Teorema de Rolle, precisamos verificar três coisas:
  1. A função é contínua no intervalo ?
  2. A função é derivável no intervalo ?
  3. ?
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 4

1. Continuidade de em :
A função é composta por funções racionais, que são contínuas em todos os pontos onde o denominador não �� zero. No nosso intervalo , nunca é zero, então é contínua em .

Passo 5

2. Derivabilidade de em :
Funções racionais são deriváveis em seus dom��nios. Já estabelecemos que no intervalo , , então é derivável em .

Passo 6

3. Igualdade de e :
Vamos calcular e :
Então, .

Passo 7

Como todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas, sabemos que existe pelo menos um em tal que . Vamos encontrar esse valor de .

Passo 8

Encontrando :
Vamos derivar :
Derivando termo a termo:

Passo 9

Encontrando onde :
Vamos resolver essa equação:
Primeiro, multiplique ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, resolva para :

Resposta

O valor de que satisfaz a conclusão do Teorema de Rolle no intervalo é .

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