Determine a equação e faça um esboço da parábola Com foco F=(0,-1) e diretriz d: y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o foco na coordenada e a diretriz que é a reta . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, focando na definição da parábola.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Então, qualquer ponto na parábola deve satisfazer que a distância dele até o foco é igual à distância dele até a diretriz .

Passo 3

Vamos calcular essa distância. A distância entre raiz(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = raizx^2 + (y + 1)^2 e o foco é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

Agora, a distância entre o ponto |y - 1| e a diretriz é a distância vertical, já que a diretriz é uma reta horizontal. Isso é simplesmente:

Passo 5

Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais:
raizx^2 + (y + 1)^2 = |y - 1|
Como estamos lidando com distâncias, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 + (y + 1)^2 = (y - 1)^2

Passo 6

Vamos expandir os termos:
x^2 + y^2 + 2y + 1 = y^2 - 2y + 1
Agora, vamos simplificar a equação. Subtraia x^2 + 2y = -2y e 1 de ambos os lados:
x^2 = -4y
Isso simplifica para:

Passo 7

A equação final da parábola é:
x^2 = -4y
Essa é a equação que representa a parábola com foco em e diretriz .

Resposta

A equação da parábola é .

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