Determine a equação e faça um esboço da parábola Com foco
e diretriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o foco na coordenada
e a diretriz que é a reta
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, focando na definição da parábola.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Então, qualquer ponto
na parábola deve satisfazer que a distância dele até o foco
é igual à distância dele até a diretriz
.
Passo 3
Vamos calcular essa distância. A distância entre
e o foco
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
Agora, a distância entre o ponto
e a diretriz
é a distância vertical, já que a diretriz é uma reta horizontal. Isso é simplesmente:
Passo 5
Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais:
Como estamos lidando com distâncias, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Vamos expandir os termos:
Agora, vamos simplificar a equação. Subtraia
e 1 de ambos os lados:
Isso simplifica para:
Passo 7
A equação final da parábola é:
Essa é a equação que representa a parábola com foco em
e diretriz
.
Resposta
A equação da parábola é
.
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e
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e
.
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