Determine a equação e faça um esboço da parábola Com foco F=(0,1) e diretriz d: y=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação e fazer um esboço da parábola que tem o foco em e a diretriz . Isso envolve entender um pouquinho sobre parábolas e como elas são definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz. Aqui, o foco é e a diretriz é a reta .

Passo 3

Agora, vamos usar essa definição para encontrar a equação da parábola. Para qualquer ponto raiz(x - 0)^2 + (y - 1)^2 = raizx^2 + (y - 1)^2 na parábola, a distância dele até o foco |y - (-1)| = |y + 1| deve ser igual à distância dele até a diretriz .
A distância entre e é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
A distância entre e a reta é a distância vertical, já que a diretriz é uma reta horizontal:

Passo 4

Igualando as duas distâncias:
raizx^2 + (y - 1)^2 = |y + 1|
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 + (y - 1)^2 = (y + 1)^2
Expandindo os quadrados:
x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1
Agora, simplificando os termos:
x^2 - 2y = 2y
Juntando os termos semelhantes:
x^2 = 4y

Resposta

A equação da parábola é . O esboço dessa parábola é uma curva que abre para cima, com o vértice na origem e passando pelo foco .

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