Seja
. Então calcule
, onde
(d)
.
(d)
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para calcular as coordenadas dos vetores
e
em relação à base
. Esse exercício está relacionado ao estudo de mudança de base em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares para encontrar os coeficientes que representam os vetores na nova base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço. No nosso caso, a base
tem dois vetores, o que é adequado para o espaço
.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas de um vetor
na base
, precisamos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, encontrar números
e
tais que:
Passo 4
Vamos aplicar isso para o vetor
. Precisamos resolver o sistema:
Passo 5
Resolvendo o sistema, podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 6
Portanto, as coordenadas do vetor
na base
são:
Passo 7
Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor
na mesma base
. Fazemos o mesmo procedimento:
Isso resulta no sistema:
Passo 8
Resolvendo o sistema, podemos novamente usar a eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na segunda equação:
Resposta
As coordenadas dos vetores na base
são:
e
Exercícios relacionados
Sejam
e
uma base de
. Se
então determine a base
.
Se |.|| for a norma da soma, calcule
:
;
Determine a equação e faça um esboço da parábola Com foco
e diretriz
Determine a equação e faça um esboço da parábola
foco
e diretriz