Seja V=F^2. Então calcule [(6,2)]alpha e[(x, y)]alpha, onde
(d) alpha=(2,1),(1,2).

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para calcular as coordenadas dos vetores (6,2) e (x, y) em relação à base alpha = (2,1), (1,2). Esse exercício está relacionado ao estudo de mudança de base em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares para encontrar os coeficientes que representam os vetores na nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço. No nosso caso, a base alpha tem dois vetores, o que é adequado para o espaço V = F^2.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de um vetor (a,b) na base alpha, precisamos expressar (a,b) como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, encontrar números c1 e c2 tais que:
(a, b) = c1 cdot (2,1) + c2 cdot (1,2)

Passo 4

Vamos aplicar isso para o vetor (6,2). Precisamos resolver o sistema:
2c1 + 1c2 = 6 1c1 + 2c2 = 2

Passo 5

Resolvendo o sistema, podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 2:
4c1 + 2c2 = 12 1c1 + 2c2 = 2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
3c1 = 10 Rightarrow c1 = 103
Agora, substituímos c1 na segunda equação:
103 + 2c2 = 2 Rightarrow 2c2 = 2 - 103 = -43 Rightarrow c2 = -23

Passo 6

Portanto, as coordenadas do vetor (6,2) na base alpha são:
[(6,2)]alpha = ( 103, -23 )

Passo 7

Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor (x, y) na mesma base alpha. Fazemos o mesmo procedimento:
(x, y) = c1 cdot (2,1) + c2 cdot (1,2)
Isso resulta no sistema:
2c1 + 1c2 = x 1c1 + 2c2 = y

Passo 8

Resolvendo o sistema, podemos novamente usar a eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 2:
4c1 + 2c2 = 2x 1c1 + 2c2 = y
Subtraindo a segunda equação da primeira:
3c1 = 2x - y Rightarrow c1 = 2x - y3
Substituindo c1 na segunda equação:
2x - y3 + 2c2 = y Rightarrow 2c2 = y - 2x - y3 = 3y - 2x + y3 = 4y - 2x3 Rightarrow c2 = 2y - x3

Resposta

As coordenadas dos vetores na base alpha são:
[(6,2)]alpha = ( 103, -23 )
e
[(x, y)]alpha = ( 2x - y3, 2y - x3 )

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