Seja . Então calcule , onde
(d) .

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para calcular as coordenadas dos vetores e em relação à base . Esse exercício está relacionado ao estudo de mudança de base em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares para encontrar os coeficientes que representam os vetores na nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço. No nosso caso, a base tem dois vetores, o que é adequado para o espaço .

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de um vetor na base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, encontrar números e tais que:

Passo 4

Vamos aplicar isso para o vetor . Precisamos resolver o sistema:

Passo 5

Resolvendo o sistema, podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 6

Portanto, as coordenadas do vetor na base são:

Passo 7

Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor na mesma base . Fazemos o mesmo procedimento:
Isso resulta no sistema:

Passo 8

Resolvendo o sistema, podemos novamente usar a eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:

Resposta

As coordenadas dos vetores na base são:
e

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Sejam e uma base de . Se
então determine a base .
Se |.|| for a norma da soma, calcule :
;
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