Determine a equação e faça um esboço da parábola Com foco F=(0,1) e diretriz d: y=-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação e desenhar o esboço de uma parábola que tem o foco em e a diretriz . Isso está relacionado com o estudo de parábolas no geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância do foco e da diretriz. Como a diretriz é uma linha horizontal e o foco está em , a parábola vai abrir para cima ou para baixo.

Passo 3

Para encontrar a equação da parábola, vamos usar a definição de distância. Um ponto qualquer na parábola está a mesma distância do foco e da diretriz .

Passo 4

A distância do ponto raiz(x - 0)^2 + (y - 1)^2 ao foco é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 5

A distância do ponto |y - (-2)| = |y + 2| à diretriz é a distância vertical, ou seja:

Passo 6

Como as duas distâncias são iguais, podemos igualar as expressões:
raizx^2 + (y - 1)^2 = |y + 2|

Passo 7

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 + (y - 1)^2 = (y + 2)^2

Passo 8

Expandindo ambos os lados:
x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 4y + 4

Passo 9

Simplificando a equação:
x^2 - 2y + 1 = 4y + 4

Passo 10

Rearranjando os termos:
x^2 = 6y + 3

Passo 11

Podemos escrever a equação final da parábola:
x^2 = 6y + 3
Ou, de forma simplificada:
x^2 = 6(y + 12)

Resposta

A equação da parábola é e o esboço apresenta uma parábola que abre para cima, com o foco em e a diretriz em .

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