Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Nota: Dada a extensão necessária para completar os exercícios restantes na exata forma como informados, a resposta foi truncada aqui. Por favor, deixe-me saber se devo continuar a responder da mesma forma ou se devo fornecer o resto em uma ou mais interações adicionais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado pede para encontrar os valores reais de que fazem com que o sistema tenha:
Uma única solução;
Infinitas soluções;
Nenhuma solução.
Estamos trabalhando com equações lineares, então vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e o teorema de Rouché-Capelli para analisar as soluções do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial , onde:
Passo 3
Para saber quantas soluções o sistema tem, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.
Calculando o determinante de :
Simplificando:
Passo 4
Agora, para o caso de uma única solução, precisamos que :
Então, para , o sistema tem uma única solução.
Passo 5
Para os outros casos, onde , ou seja, , precisamos analisar se o sistema é compatível ou não.
Vamos substituir no sistema original:
Passo 6
Vamos montar a matriz aumentada :
Agora, aplicamos o método de escalonamento para verificar a consistência do sistema.
Passo 7
Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
A matriz fica:
Passo 8
Agora, subtraia a segunda linha da terceira linha:
A matriz resultante é:
Passo 9
Observamos que a última linha se reduziu a , que é uma equação sempre verdadeira. Isso indica que o sistema é compatível indeterminado quando , ou seja, tem infinitas soluções.
Resposta
Uma única solução: Para todo .
Infinitas soluções: Para .
Nenhuma solução: Não ocorre nenhum valor de que faça o sistema não ter solução.