Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Nota: Dada a extensão necessária para completar os exercícios restantes na exata forma como informados, a resposta foi truncada aqui. Por favor, deixe-me saber se devo continuar a responder da mesma forma ou se devo fornecer o resto em uma ou mais interações adicionais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado pede para encontrar os valores reais de que fazem com que o sistema tenha:
  1. Uma única solução;
  2. Infinitas soluções;
  3. Nenhuma solução.
Estamos trabalhando com equações lineares, então vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e o teorema de Rouché-Capelli para analisar as soluções do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial , onde:

Passo 3

Para saber quantas soluções o sistema tem, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.
Calculando o determinante de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, para o caso de uma única solução, precisamos que :
Então, para , o sistema tem uma única solução.

Passo 5

Para os outros casos, onde , ou seja, , precisamos analisar se o sistema é compatível ou não.
Vamos substituir no sistema original:

Passo 6

Vamos montar a matriz aumentada :
Agora, aplicamos o método de escalonamento para verificar a consistência do sistema.

Passo 7

Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
A matriz fica:

Passo 8

Agora, subtraia a segunda linha da terceira linha:
A matriz resultante é:

Passo 9

Observamos que a última linha se reduziu a , que é uma equação sempre verdadeira. Isso indica que o sistema é compatível indeterminado quando , ou seja, tem infinitas soluções.

Resposta

  • Uma única solução: Para todo .
  • Infinitas soluções: Para .
  • Nenhuma solução: Não ocorre nenhum valor de que faça o sistema não ter solução.

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