Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Nota: Dada a extensão necessária para completar os exercícios restantes na exata forma como informados, a resposta foi truncada aqui. Por favor, deixe-me saber se devo continuar a responder da mesma forma ou se devo fornecer o resto em uma ou mais interações adicionais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado pede para encontrar os valores reais de que fazem com que o sistema tenha:
Uma única solução;
Infinitas soluções;
Nenhuma solução.
Estamos trabalhando com equações lineares, então vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e o teorema de Rouché-Capelli para analisar as soluções do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = 1 & 1 & k 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1 , X = x y z , B = 2 k 1 , onde:
Passo 3
Para saber quantas soluções o sistema tem, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 1 cdot (4 cdot (-1) - 2 cdot 3) - 1 cdot (3 cdot (-1) - 2 cdot 2) + k cdot (3 cdot 3 - 4 cdot 2) . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.
Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot (-4 - 6) - 1 cdot (-3 - 4) + k cdot (9 - 8) = 1 cdot (-10) - 1 cdot (-7) + k cdot 1 = -10 + 7 + k = -3 + k :
Simplificando:
Passo 4
Agora, para o caso de uma única solução, precisamos que -3 + k neq 0 implies k neq 3 :
Então, para , o sistema tem uma única solução.
Passo 5
Para os outros casos, onde x + y + 3z = 2 3x + 4y + 2z = 3 2x + 3y - z = 1 , ou seja, , precisamos analisar se o sistema é compatível ou não.
Observamos que a última linha se reduziu a , que é uma equação sempre verdadeira. Isso indica que o sistema é compatível indeterminado quando , ou seja, tem infinitas soluções.
Resposta
Uma única solução: Para todo .
Infinitas soluções: Para .
Nenhuma solução: Não ocorre nenhum valor de que faça o sistema não ter solução.