Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução: (c)^* x+y+k z & =2 3 x+4 y+2 z & =k 2 x+3 y-z & =1
Nota: Dada a extensão necessária para completar os exercícios restantes na exata forma como informados, a resposta foi truncada aqui. Por favor, deixe-me saber se devo continuar a responder da mesma forma ou se devo fornecer o resto em uma ou mais interações adicionais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado pede para encontrar os valores reais de que fazem com que o sistema tenha:
  1. Uma única solução;
  2. Infinitas soluções;
  3. Nenhuma solução.
Estamos trabalhando com equações lineares, então vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e o teorema de Rouché-Capelli para analisar as soluções do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = 1 & 1 & k 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1 , X = x y z , B = 2 k 1 , onde:

Passo 3

Para saber quantas soluções o sistema tem, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 1 cdot (4 cdot (-1) - 2 cdot 3) - 1 cdot (3 cdot (-1) - 2 cdot 2) + k cdot (3 cdot 3 - 4 cdot 2) . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.
Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot (-4 - 6) - 1 cdot (-3 - 4) + k cdot (9 - 8) = 1 cdot (-10) - 1 cdot (-7) + k cdot 1 = -10 + 7 + k = -3 + k :
Simplificando:

Passo 4

Agora, para o caso de uma única solução, precisamos que -3 + k neq 0 implies k neq 3 :
Então, para , o sistema tem uma única solução.

Passo 5

Para os outros casos, onde x + y + 3z = 2 3x + 4y + 2z = 3 2x + 3y - z = 1 , ou seja, , precisamos analisar se o sistema é compatível ou não.
Vamos substituir no sistema original:

Passo 6

Vamos montar a matriz aumentada 1 & 1 & 3 & | & 2 3 & 4 & 2 & | & 3 2 & 3 & -1 & | & 1 :
Agora, aplicamos o método de escalonamento para verificar a consistência do sistema.

Passo 7

Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 3 cdot Linha1 Rightarrow 3-3(1)=0, 4-3(1)=1, 2-3(3)= -7, 3-3(2)= -3
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 cdot Linha1 Rightarrow 2-2(1)=0, 3-2(1)=1, -1-2(3)= -7, 1-2(2)= -3
A matriz fica:
1 & 1 & 3 & | & 2 0 & 1 & -7 & | & -3 0 & 1 & -7 & | & -3

Passo 8

Agora, subtraia a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha2 Rightarrow 0-0=0, 1-1=0, -7-(-7)=0, -3-(-3)=0
A matriz resultante é:
1 & 1 & 3 & | & 2 0 & 1 & -7 & | & -3 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 9

Observamos que a última linha se reduziu a , que é uma equação sempre verdadeira. Isso indica que o sistema é compatível indeterminado quando , ou seja, tem infinitas soluções.

Resposta

  • Uma única solução: Para todo .
  • Infinitas soluções: Para .
  • Nenhuma solução: Não ocorre nenhum valor de que faça o sistema não ter solução.

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