Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que reduzem à forma canônica a equação do circulo: x^2+y^2+2 x-8 y-16=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de um círculo: . Nosso objetivo é encontrar uma translação dos eixos coordenados, ou seja, mudar a origem para simplificar essa equação e colocá-la na forma canônica do círculo. Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado para os termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos de x^2 + 2x + y^2 - 8y = 16 e para facilitar o trabalho:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de (x^2 + 2x + 1) - 1 + y^2 - 8y = 16 . Para (x + 1)^2 - 1 + y^2 - 8y = 16 , a gente pega metade do coeficiente de , que é 1, e eleva ao quadrado, ficando . Então, adicionamos e subtraímos 1:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para o termo de (x + 1)^2 - 1 + (y^2 - 8y + 16) - 16 = 16 . Para (x + 1)^2 - 1 + (y - 4)^2 - 16 = 16 , pegamos metade de -8, que é -4, e elevamos ao quadrado, ficando . Adicionamos e subtraímos 16:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos reunir os termos constantes:
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 - 17 = 16
Adicionando 17 em ambos os lados:
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 33

Passo 6

Pronto! A equação está na forma canônica do círculo, que é (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 33 , onde é o centro e é o raio.
Comparando com a nossa equação:
Vemos que o centro mudou para .

Resposta

A translação dos eixos coordenados tem a nova origem em x' = x + 1 y' = y - 4 e as equações de transformação são:

Exercícios relacionados