Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que reduzem à forma canônica a equação do circulo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de um círculo:
. Nosso objetivo é encontrar uma translação dos eixos coordenados, ou seja, mudar a origem para simplificar essa equação e colocá-la na forma canônica do círculo. Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado para os termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos de
e
para facilitar o trabalho:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de
. Para
, a gente pega metade do coeficiente de
, que é 1, e eleva ao quadrado, ficando
. Então, adicionamos e subtraímos 1:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para o termo de
. Para
, pegamos metade de -8, que é -4, e elevamos ao quadrado, ficando
. Adicionamos e subtraímos 16:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos reunir os termos constantes:
Adicionando 17 em ambos os lados:
Passo 6
Pronto! A equação está na forma canônica do círculo, que é
, onde
é o centro e
é o raio.
Comparando com a nossa equação:
Vemos que o centro
mudou para
.
Resposta
A translação dos eixos coordenados tem a nova origem em
e as equações de transformação são:
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foco
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