Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que reduzem à forma canônica a equação do circulo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de um círculo: . Nosso objetivo é encontrar uma translação dos eixos coordenados, ou seja, mudar a origem para simplificar essa equação e colocá-la na forma canônica do círculo. Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado para os termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos de e para facilitar o trabalho:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de . Para , a gente pega metade do coeficiente de , que é 1, e eleva ao quadrado, ficando . Então, adicionamos e subtraímos 1:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para o termo de . Para , pegamos metade de -8, que é -4, e elevamos ao quadrado, ficando . Adicionamos e subtraímos 16:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos reunir os termos constantes:
Adicionando 17 em ambos os lados:

Passo 6

Pronto! A equação está na forma canônica do círculo, que é , onde é o centro e é o raio.
Comparando com a nossa equação:
Vemos que o centro mudou para .

Resposta

A translação dos eixos coordenados tem a nova origem em e as equações de transformação são:

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