Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que reduzem à forma canônica a equação do circulo: x^2+y^2-2 x+4 y-4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma transformação que mude a origem dos eixos coordenados de forma que a equação do círculo fique na forma canônica. Para isso, vamos precisar usar o conceito de completar o quadrado e entender como fazer a translação dos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do círculo agrupando os termos de x^2 - 2x + y^2 + 4y = 4 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (-22)^2 = 1 . Pegamos o coeficiente de x^2 - 2x + 1 - 1 + y^2 + 4y = 4 , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x - 1)^2 - 1 + y^2 + 4y = 4
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso fica:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de (42)^2 = 4 . Pegamos o coeficiente de (x - 1)^2 - 1 + y^2 + 4y + 4 - 4 = 4 , que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 4
Adicionamos e subtraímos esse valor:
Isso fica:

Passo 5

Agora, simplificamos a equação:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 5 = 4
Adicionamos 5 em ambos os lados:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9

Resposta

A translação necessária é deslocar a origem para o ponto x' = x - 1 . As equações de transformação são:
y' = y + 2
x'^2 + y'^2 = 9
Com isso, a equação do círculo na forma canônica fica:

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