Determine a equação geral, o centro e o raio da circunferência que passa pelos pontos (5,0), (8,-3) e (2,-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral de uma circunferência que passa pelos pontos (5, 0), (8, -3) e (2, -3). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação da circunferência. Vamos precisar montar um sistema de equações usando os pontos dados e resolver para encontrar o centro e o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, lembre que a equação geral de uma circunferência é dada por:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Vamos usar os três pontos fornecidos para criar três equações. Substituindo cada ponto na equação da circunferência:
Para o ponto (5, 0):
(5 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2
Simplificando:
(5 - a)^2 + b^2 = r^2 (1)

Passo 4

Para o ponto (8, -3):
(8 - a)^2 + (-3 - b)^2 = r^2
Simplificando:
(8 - a)^2 + (-3 - b)^2 = r^2 (2)

Passo 5

Para o ponto (2, -3):
(2 - a)^2 + (-3 - b)^2 = r^2
Simplificando:
(2 - a)^2 + (-3 - b)^2 = r^2 (3)

Passo 6

Agora, vamos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar (8 - a)^2 + (-3 - b)^2 - [(5 - a)^2 + b^2] = 0 :
(64 - 16a + a^2) + (9 + 6b + b^2) - (25 - 10a + a^2 + b^2) = 0
Expandindo os termos:
64 - 16a + 9 + 6b - 25 + 10a = 0
Simplificando:
(64 + 9 - 25) + (-16a + 10a) + 6b = 0
48 - 6a + 6b = 0
8 - a + b = 0 Rightarrow a - b = 8 (4)
Dividindo tudo por 6:

Passo 7

Agora, subtrai a equação (1) da equação (3):
(2 - a)^2 + (-3 - b)^2 - [(5 - a)^2 + b^2] = 0
Expandindo os termos:
(4 - 4a + a^2) + (9 + 6b + b^2) - (25 - 10a + a^2 + b^2) = 0
Simplificando:
4 - 4a + 9 + 6b - 25 + 10a = 0
(4 + 9 - 25) + (-4a + 10a) + 6b = 0
-12 + 6a + 6b = 0
Dividindo tudo por 6:
-2 + a + b = 0 Rightarrow a + b = 2 (5)

Passo 8

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a - b = 8 (4) a + b = 2 (5)
Vamos somar as duas equações para eliminar (a - b) + (a + b) = 8 + 2 2a = 10 a = 5 :
5 + b = 2 b = -3
Agora, substituindo na equação (5):

Passo 9

Agora que temos (5 - 5)^2 + (-3)^2 = r^2 0 + 9 = r^2 r^2 = 9 r = 3 e , podemos encontrar o raio usando uma das equações iniciais, por exemplo, a equação (1):

Resposta

A equação geral da circunferência é:
(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 9
O centro da circunferência é e o raio é .

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