Quais dos subconjuntos do
com as operações usuais são subespaços vetoriais?
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do
com as operações usuais. Para resolver isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial e checar se
satisfaz todas as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então deve estar em .
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Como ambas as condições são verdadeiras,
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja
e
com
e
.
Somando
e
:
Como
e
, o vetor resultante também está em
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos verificar a multiplicação por um escalar qualquer
. Seja
, com
e
.
Multiplicando por
:
Aqui, temos duas situações:
- Se
: Então e , e o vetor resultante ainda está em . - Se
: Neste caso, e . Isso significa que pelo menos um dos componentes pode ser negativo, o que viola a definição de .
Como existe um escalar
(por exemplo,
) que faz com que
não pertença a
, concluímos que
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Não,
não é um subespaço vetorial de
.
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e
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:
.
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.
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