Quais dos subconjuntos do R^2 com as operações usuais são subespaços vetoriais?
(b) V2=(x, y) in R^2 mid x >= 0, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do com as operações usuais. Para resolver isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial e checar se satisfaz todas as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então deve estar em .
Vamos verificar essas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em 0 >= 0 e 0 >= 0 é . Vamos ver se ele pertence a :
Como ambas as condições são verdadeiras, . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2) . Seja e com e .
Somando e :
Como e , o vetor resultante também está em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos verificar a multiplicação por um escalar qualquer cu = (c x, c y) . Seja , com e .
Multiplicando por :
Aqui, temos duas situações:
  • Se : Então e , e o vetor resultante ainda está em .
  • Se : Neste caso, e . Isso significa que pelo menos um dos componentes pode ser negativo, o que viola a definição de .
Como existe um escalar (por exemplo, ) que faz com que não pertença a , concluímos que não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Não, não é um subespaço vetorial de .

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