Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de : .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um conjunto de quatro vetores no espaço e precisa descobrir se eles formam uma base desse espaço. Isso significa que esses vetores precisam ser linearmente independentes e conter todas as direções do . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e redução de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna. Assim, teremos:
Nosso objetivo é verificar se essa matriz tem posto igual a 4, o que significa que suas colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .
Passo 3
Para encontrar o posto da matriz, podemos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz a escada e contar quantos pivôs (números não nulos na diagonal) existem. Se tivermos 4 pivôs, a matriz é invertível e as colunas são independentes.
Vamos começar:
Primeira coluna: O primeiro elemento já é 2, que é nosso primeiro pivô. Vamos usar ele para eliminar os elementos abaixo.
Agora, observamos que temos 4 pivôs: nas posições (1,1), (2,2), (3,3) e (4,4). Isso significa que todas as colunas são linearmente independentes e, portanto, o conjunto de vetores dado forma uma base de .