Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^4 :
(2,0,0,2),(1,1,0,0),(0,0,2,3),(1,2,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um conjunto de quatro vetores no espaço e precisa descobrir se eles formam uma base desse espaço. Isso significa que esses vetores precisam ser linearmente independentes e conter todas as direções do . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e redução de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna. Assim, teremos:
A = 2 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1 2 & 0 & 3 & 2
Nosso objetivo é verificar se essa matriz tem posto igual a 4, o que significa que suas colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Passo 3

Para encontrar o posto da matriz, podemos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz a escada e contar quantos pivôs (números não nulos na diagonal) existem. Se tivermos 4 pivôs, a matriz é invertível e as colunas são independentes.
Vamos começar:
  1. Primeira coluna: O primeiro elemento já é 2, que é nosso primeiro pivô. Vamos usar ele para eliminar os elementos abaixo.
    • Linha 2: já tem 0, nada a fazer.
    • Linha 3: já tem 0, nada a fazer.
    • Linha 4: Queremos zerar o 2. Fazemos 2 - 2 = 0, 0 - 0 = 0, 3 - 0 = 3, 2 - 2 = 0 :
      2 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 & 0
    A matriz fica:

Passo 4

  1. Segunda coluna: Nosso segundo pivô está na segunda linha, segunda coluna, que é 1. Vamos usar ele para eliminar os elementos abaixo.
    • Linha 3: já tem 0, nada a fazer.
    • Linha 4: já tem 0, nada a fazer.
    A matriz permanece:
    2 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 & 0

Passo 5

  1. Terceira coluna: O terceiro pivô está na terceira linha, terceira coluna, que é 2. Vamos usá-lo para eliminar o elemento abaixo.
    • Linha 4: Queremos zerar o 3. Fazemos 0 - 0 = 0, 0 - 0 = 0, 3 - 32 times 2 = 0, 0 - 32 times 1 = -32 :
      2 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & -32
    A matriz fica:

Passo 6

Agora, observamos que temos 4 pivôs: nas posições (1,1), (2,2), (3,3) e (4,4). Isso significa que todas as colunas são linearmente independentes e, portanto, o conjunto de vetores dado forma uma base de .

Resposta

O conjunto é uma base de .

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