Determine a equação geral da circunferência que passa pelos pontos P(1, 2), Q(2, raiz(3)) e R(-1, 0). x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede. Precisamos determinar a equação geral de uma circunferência que passa pelos três pontos , e . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente as equações das circunferências. Vamos precisar montar um sistema de equações usando as coordenadas dos pontos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de uma circunferência. Ela é dada por:
Aqui, , e são coeficientes que determinam a posição e o tamanho da circunferência. Nosso objetivo é encontrar os valores desses coeficientes.

Passo 3

Como a circunferência passa pelos pontos , e , vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação geral da circunferência para obter três equações:
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Simplificando as equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação, isolamos :

Passo 6

Substituímos nas duas primeiras equações:
Primeira equação:
Dividindo por 2:
Segunda equação:

Passo 7

Temos agora um sistema com duas equações:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar a substituição.
Da primeira equação:

Passo 8

Substituímos na segunda equação:
Agrupando os termos com :

Passo 9

Isolando :
Para simplificar essa fração, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador :

Passo 10

Agora que sabemos que , podemos encontrar usando a equação :

Passo 11

Com , , podemos encontrar usando :

Resposta

A equação geral da circunferência é:

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