Determine a equação geral da circunferência que passa pelos pontos e .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos pede. Precisamos determinar a equação geral de uma circunferência que passa pelos três pontos , e . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente as equações das circunferências. Vamos precisar montar um sistema de equações usando as coordenadas dos pontos fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de uma circunferência. Ela é dada por:
Aqui, , e são coeficientes que determinam a posição e o tamanho da circunferência. Nosso objetivo é encontrar os valores desses coeficientes.
Passo 3
Como a circunferência passa pelos pontos , e , vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação geral da circunferência para obter três equações:
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :
Passo 4
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Simplificando as equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação, isolamos :
Passo 6
Substituímos nas duas primeiras equações:
Primeira equação:
Dividindo por 2:
Segunda equação:
Passo 7
Temos agora um sistema com duas equações:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar a substituição.
Da primeira equação:
Passo 8
Substituímos na segunda equação:
Agrupando os termos com :
Passo 9
Isolando :
Para simplificar essa fração, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador :
Passo 10
Agora que sabemos que , podemos encontrar usando a equação :