Verifique que a série abaixo converge e calcule sua soma.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
Nosso objetivo é verificar se essa série converge, ou seja, se a soma dela se aproxima de um valor específico à medida que adicionamos mais termos. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de série geométrica, que é uma série onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Simplificando cada fração:
O que simplifica para:
Passo 3
Agora, reconhecemos que cada uma dessas séries é uma série geométrica da forma:
Onde
é a razão comum. Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de
deve ser menor que 1 (
).
Passo 4
Vamos verificar a convergência de cada parte:
- Para
, temos . Como , essa série converge. - Para
, temos . Como , essa série também converge.
Como ambas as séries convergem, a série original também converge.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma de cada série geométrica. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa em
é:
Onde
é a soma e
é a razão.
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Finalmente, somamos as duas partes para encontrar a soma total da série original:
Resposta
A série converge e sua soma é
.