Verifique que a série abaixo converge e calcule sua soma.
sumn=1^infty 3^n+5^n15^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty 3^n + 5^n15^n
Nosso objetivo é verificar se essa série converge, ou seja, se a soma dela se aproxima de um valor específico à medida que adicionamos mais termos. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de série geométrica, que é uma série onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
sumn=1^infty 3^n15^n + sumn=1^infty 5^n15^n
Simplificando cada fração:
sumn=1^infty ( 315 )^n + sumn=1^infty ( 515 )^n
O que simplifica para:
sumn=1^infty ( 15 )^n + sumn=1^infty ( 13 )^n

Passo 3

Agora, reconhecemos que cada uma dessas séries é uma série geométrica da forma:
sumn=1^infty r^n
Onde é a razão comum. Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de deve ser menor que 1 ( ).

Passo 4

Vamos verificar a convergência de cada parte:
  1. Para , temos . Como , essa série converge.
  2. Para , temos . Como , essa série também converge.
Como ambas as séries convergem, a série original também converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma de cada série geométrica. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa em S = r1 - r é:
S1 = 151 - 15 = 1545 = 14
Onde S2 = 131 - 13 = 1323 = 12 é a soma e é a razão.
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Finalmente, somamos as duas partes para encontrar a soma total da série original:
S = S1 + S2 = 14 + 12 = 34

Resposta

A série converge e sua soma é .

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