Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de intersecção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação a outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas.
y = a x^3, x^2 + 3 y^2 = b

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas famílias de curvas: uma é e a outra é . A gente precisa mostrar que essas curvas são ortogonais entre si, ou seja, que as retas tangentes a elas se encontram formando um ângulo de 90 graus em cada ponto de interseção. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar as retas tangentes e verificar se elas são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da primeira família de curvas . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de em relação a é:
Essa expressão nos mostra a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da segunda família de curvas . Para isso, usamos derivação implícita, já que está definida em termos de .
Derivando ambos os lados em relação a :
Resolvendo para :
Essa é a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto .

Passo 4

Para que as curvas sejam ortogonais, as inclinações das retas tangentes em um ponto de interseção devem ser negativas recíprocas umas das outras. Ou seja, se é a inclinação da tangente à primeira curva e à segunda curva, então:
Vamos verificar isso com as derivadas que encontramos.

Passo 5

Substituindo e na equação:
Observando a primeira família de curvas , podemos substituir por na expressão acima:
Então, , o que confirma que as retas tangentes são perpendiculares.

Resposta

Concluímos que todas as curvas da família são ortogonais a todas as curvas da família . Além disso, ao esboçarmos ambas as famílias no mesmo sistema de coordenadas, podemos visualizar que suas tangentes se cruzam formando ângulos de 90 graus em cada ponto de interseção.

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