Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de intersecção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação a outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas famílias de curvas: uma é
e a outra é
. A gente precisa mostrar que essas curvas são ortogonais entre si, ou seja, que as retas tangentes a elas se encontram formando um ângulo de 90 graus em cada ponto de interseção. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar as retas tangentes e verificar se elas são perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da primeira família de curvas
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de
em relação a
é:
Essa expressão nos mostra a inclinação da tangente à curva
em qualquer ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da segunda família de curvas
. Para isso, usamos derivação implícita, já que
está definida em termos de
.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Resolvendo para
:
Essa é a inclinação da tangente à curva
em qualquer ponto
.
Passo 4
Para que as curvas sejam ortogonais, as inclinações das retas tangentes em um ponto de interseção devem ser negativas recíprocas umas das outras. Ou seja, se
é a inclinação da tangente à primeira curva e
à segunda curva, então:
Vamos verificar isso com as derivadas que encontramos.
Passo 5
Substituindo
e
na equação:
Observando a primeira família de curvas
, podemos substituir
por
na expressão acima:
Então,
, o que confirma que as retas tangentes são perpendiculares.
Resposta
Concluímos que todas as curvas da família
são ortogonais a todas as curvas da família
. Além disso, ao esboçarmos ambas as famílias no mesmo sistema de coordenadas, podemos visualizar que suas tangentes se cruzam formando ângulos de 90 graus em cada ponto de interseção.