Determine a equação geral que define implicitamente a solução da equação abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a equação geral que define implicitamente a solução dela. Primeiro, precisamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando aqui e quais ferramentas da matemática vamos usar para resolver.

Passo 2

A equação dada é:
Vamos reorganizar para deixar isolado:
Então:

Passo 3

Essa forma sugere que a equação não é facilmente separável ou exata. Vamos verificar se ela pode ser transformada em uma equação exata ou se podemos usar um fator integrante. Contudo, devido à presença de e tanto na função quanto nas derivadas, a abordagem mais viável é tentar resolver a equação diferencial de forma implícita, integrando ambos os lados.

Passo 4

Vamos reescrever a equação original para facilitar a integração:
Isso pode ser reorganizado como:
Agora, tentamos integrar os termos:
Calculando as integrais:
  • (já que é tratado como constante em relação a )
  • (similarmente, é constante em relação a )
Então, juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

A equação geral que define implicitamente a solução da equação diferencial dada é:
onde é a constante de integração.

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