Determine a equação geral que define implicitamente a solução da equação abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a equação geral que define implicitamente a solução dela. Primeiro, precisamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando aqui e quais ferramentas da matemática vamos usar para resolver.
Passo 2
A equação dada é:
Vamos reorganizar para deixar
isolado:
Então:
Passo 3
Essa forma sugere que a equação não é facilmente separável ou exata. Vamos verificar se ela pode ser transformada em uma equação exata ou se podemos usar um fator integrante. Contudo, devido à presença de
e
tanto na função quanto nas derivadas, a abordagem mais viável é tentar resolver a equação diferencial de forma implícita, integrando ambos os lados.
Passo 4
Vamos reescrever a equação original para facilitar a integração:
Isso pode ser reorganizado como:
Agora, tentamos integrar os termos:
Calculando as integrais:
-
(já que é tratado como constante em relação a ) -
-
(similarmente, é constante em relação a ) -
Então, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
A equação geral que define implicitamente a solução da equação diferencial dada é:
onde
é a constante de integração.
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Mostre que toda solução desse sistema converge (quando
) para a solução de equilíbrio
.