Determine a equação geral que define implicitamente a solução da equação abaixo 1
3y + e^x + (3x + cos(y)) dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a equação geral que define implicitamente a solução dela. Primeiro, precisamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando aqui e quais ferramentas da matemática vamos usar para resolver.

Passo 2

A equação dada é:
Vamos reorganizar para deixar isolado:
Então:

Passo 3

Essa forma sugere que a equação não é facilmente separável ou exata. Vamos verificar se ela pode ser transformada em uma equação exata ou se podemos usar um fator integrante. Contudo, devido à presença de y e x tanto na função quanto nas derivadas, a abordagem mais viável é tentar resolver a equação diferencial de forma implícita, integrando ambos os lados.

Passo 4

Vamos reescrever a equação original para facilitar a integração:
Isso pode ser reorganizado como:
Agora, tentamos integrar os termos:
Calculando as integrais:
  • (já que y é tratado como constante em relação a x)
  • (similarmente, x é constante em relação a y)
Então, juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

A equação geral que define implicitamente a solução da equação diferencial dada é:
onde C é a constante de integração.

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