Encontre uma solução particular de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares, especificamente usando o método dos coeficientes a determinar para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma solução particular (
) é uma função que satisfaz a equação completa
, sem considerar a solução da equação homogênea. Para encontrar
, usamos o método dos coeficientes a determinar, que envolve adivinhar a forma de
com base no lado direito da equação e depois encontrar os coeficientes que fazem essa função funcionar.
Passo 3
Observando o lado direito
, percebemos que a função é um polinômio de primeiro grau (
) multiplicado por uma exponencial (
). A ideia é propor uma forma para
que inclua esses componentes. Geralmente, tentamos uma função da forma:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 6
Igualamos essa expressão ao lado direito da equação original
:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos:
Para o termo
:
Para os termos constantes
:
Substituindo
:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, substituímos esses valores na nossa expressão para
:
Resposta
Uma solução particular da equação é
.
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