Encontre uma solução particular de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares, especificamente usando o método dos coeficientes a determinar para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma solução particular ( ) é uma função que satisfaz a equação completa , sem considerar a solução da equação homogênea. Para encontrar , usamos o método dos coeficientes a determinar, que envolve adivinhar a forma de com base no lado direito da equação e depois encontrar os coeficientes que fazem essa função funcionar.

Passo 3

Observando o lado direito , percebemos que a função é um polinômio de primeiro grau ( ) multiplicado por uma exponencial ( ). A ideia é propor uma forma para que inclua esses componentes. Geralmente, tentamos uma função da forma:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 6

Igualamos essa expressão ao lado direito da equação original :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos:
Para o termo :
Para os termos constantes :
Substituindo :

Passo 7

Agora que encontramos e , substituímos esses valores na nossa expressão para :

Resposta

Uma solução particular da equação é .

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