Determine a equação geral (equação da forma a x+b y+c=0 ) da reta:
(b) que passa pelo ponto A=(3,-5) e é paralela ao vetor v=(-2,3)

Passo 1

Então, temos uma reta que precisa passar pelo ponto A = (3, -5) e ser paralela ao vetor v = (-2, 3). Vamos resolver isso usando conceitos de geometria analítica, como vetores direcionadores e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser paralela a um vetor. Se uma reta é paralela a v = (-2, 3), isso significa que v é o vetor diretor da reta. Ou seja, a direção da reta é dada por esse vetor.

Passo 3

Sabendo que temos um ponto pela qual a reta passa, A = (3, -5), e o vetor diretor v = (-2, 3), podemos usar a equação vetorial da reta. A equação vetorial é dada por:
r = r0 + t v
Onde r0 é o vetor posição do ponto A e t é um parâmetro real.

Passo 4

Vamos escrever isso de forma mais concreta. O vetor posição de A é r0 = (3, -5). Assim, a equação vetorial fica:
r = (3, -5) + t(-2, 3)

Passo 5

Agora, vamos converter essa equação vetorial para a forma geral da equação da reta, que é a x + b y + c = 0. Para isso, precisamos expressar y em função de x ou vice-versa.

Passo 6

Vamos separar as componentes:
x = 3 - 2t
y = -5 + 3t
Agora, resolvemos a primeira equação para t:
t = 3 - x2

Passo 7

Substituímos esse valor de t na segunda equação:
y = -5 + 3(3 - x2)
y = -5 + 9 - 3x2
y = -10 + 9 - 3x2
y = -1 - 3x2

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2y = -1 - 3x
3x + 2y + 1 = 0

Resposta

A equação geral da reta é 3x + 2y + 1 = 0.

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