Determine a posição relativa das retas r1 e r2 abaixo. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção.
(a) r1: 2 x-y=1 e r2: 3 x+y=11

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui duas retas, a r1: 2x - y = 1 e a r2: 3x + y = 11. Nosso objetivo é descobrir como essas retas se relacionam no plano: elas se cruzam em algum ponto ou são paralelas? Se elas se cruzarem, também vamos encontrar o ponto de interseção. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como solução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Isso vai nos dizer se as retas se cruzam (ou seja, são concorrentes) e onde exatamente isso acontece.

Passo 3

Vamos usar o método de substituição. Da primeira equação 2x - y = 1, podemos isolar o y:
y = 2x - 1
Agora, substituímos essa expressão de y na segunda equação 3x + y = 11:
3x + (2x - 1) = 11

Passo 4

Vamos simplificar a equação resultante:
3x + 2x - 1 = 11
5x - 1 = 11
Agora, somamos 1 em ambos os lados:
5x = 12
E dividimos por 5:
x = 125

Passo 5

Agora que temos o valor de x, vamos substituir de volta na expressão que encontramos para y:
y = 2x - 1
y = 2(125) - 1
y = 245 - 55
y = 195

Resposta

As retas r1 e r2 são concorrentes e se intersectam no ponto (125, 195).

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