Determine a equação geral (equação da forma a x+b y+c=0 ) da reta:
(a) que passa pelo ponto A=(7,-3) e é normal ao vetor v=(4,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral da reta na forma a x + b y + c = 0. A reta que queremos passa pelo ponto A=(7,-3) e é normal ao vetor v=(4,2). Isso envolve conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta é normal ao vetor v=(4,2). Ser normal a um vetor quer dizer que o vetor é perpendicular à reta. Na equação geral da reta a x + b y + c = 0, os coeficientes a e b formam um vetor normal à reta. Então, podemos dizer que o vetor normal da nossa reta é exatamente v = (4,2).

Passo 3

Com o vetor normal identificado como (4,2), podemos relacionar isso com a equação geral da reta. Sabemos que a = 4 e b = 2. Nossa equação até agora fica:
4x + 2y + c = 0

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de c. Para isso, vamos usar o ponto pelo qual a reta passa, que é A=(7,-3). Basta substituir x = 7 e y = -3 na equação da reta:
4(7) + 2(-3) + c = 0
28 - 6 + c = 0
22 + c = 0

Passo 5

Resolvendo a equação para c:
c = -22

Resposta

Então, a equação geral da reta é:
4x + 2y - 22 = 0

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