Determine uma equação geral, uma equação vetorial e equações paramétricas para o plano do espaço, nos seguintes casos:
(a) passa pelo ponto e é paralelo ao plano .
(b) passa pelo ponto e é perpendicular à reta descrita pelas equações .
© passa pelos pontos e .
(d) passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar diferentes formas de representar um plano no espaço. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver cada caso, vamos precisar entender como escrever a equação geral de um plano, a equação vetorial e as equações paramétricas. Vamos abordar cada subitem (a, b, c, d) separadamente para facilitar.

Passo 2

Parte (a)

Enunciado: Determine uma equação geral, uma equação vetorial e equações paramétricas para o plano que passa pelo ponto e é paralelo ao plano .
Conteúdo Necessário:
  • Equação geral do plano.
  • Equação vetorial do plano.
  • Equações paramétricas do plano.
  • Conceito de planos paralelos (eles possuem o mesmo vetor normal).
Resolução:
Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano dado . O vetor normal é formado pelos coeficientes de , e , ou seja, .
Como o plano é paralelo a esse plano, ele terá o mesmo vetor normal.

Equação Geral do Plano

A equação geral de um plano é dada por:
onde é um ponto no plano e são as componentes do vetor normal.
Substituindo as informações:

Equação Vetorial do Plano

A equação vetorial utiliza um ponto do plano e dois vetores diretores. Como temos o vetor normal, precisamos encontrar dois vetores que sejam paralelos ao plano.
Podemos escolher dois vetores que sejam perpendiculares ao vetor normal . Por exemplo:
Então, a equação vetorial fica:

Equações Paramétricas do Plano

A partir da equação vetorial, podemos separar em componentes , e :

Resposta

Para o caso (a), o plano que passa pelo ponto e é paralelo ao plano possui:
  • Equação Geral:
  • Equação Vetorial:
  • Equações Paramétricas:
onde e são parâmetros reais.

Exercícios relacionados

Seja a reta do plano que passa por e . Determine as seguintes equações que descrevem :
(a) Equação vetorial
©
(b) Equações paramétricas
(d)
Verifique quais das matrizes abaixo são ortogonais.
Determine a interseção da reta com o plano :
(a) e
(b) e
© e
(d) e
Sendo e matrizes invertíveis de ordem , isolar a matriz de cada equação abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)