Determine uma equação geral, uma equação vetorial e equações paramétricas para o plano pi do espaço, nos seguintes casos:
(a) pi passa pelo ponto P(1,-1,0) e é paralelo ao plano 2 x+y-2 z-2=0.
(b) pi passa pelo ponto A(-2,8,10) e é perpendicular à reta r descrita pelas equações x=1+t, y=2 t, z=4-3 t.
© pi passa pelos pontos A(0,1,1), B(-1,0,1) e C(1,1,-1).
(d) pi passa pelo ponto P(2,1,0) e é perpendicular aos planos x+2 y-3 z+2=0 e 2 x-y+4 z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar diferentes formas de representar um plano no espaço. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver cada caso, vamos precisar entender como escrever a equação geral de um plano, a equação vetorial e as equações paramétricas. Vamos abordar cada subitem (a, b, c, d) separadamente para facilitar.

Passo 2

Parte (a)

Enunciado: Determine uma equação geral, uma equação vetorial e equações paramétricas para o plano pi que passa pelo ponto P(1,-1,0) e é paralelo ao plano 2x + y - 2z - 2 = 0.
Conteúdo Necessário:
  • Equação geral do plano.
  • Equação vetorial do plano.
  • Equações paramétricas do plano.
  • Conceito de planos paralelos (eles possuem o mesmo vetor normal).
Resolução:
Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano dado 2x + y - 2z - 2 = 0. O vetor normal n é formado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, n = (2, 1, -2).
Como o plano pi é paralelo a esse plano, ele terá o mesmo vetor normal.

Equação Geral do Plano pi

A equação geral de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano e (a, b, c) são as componentes do vetor normal.
Substituindo as informações:
2(x - 1) + 1(y + 1) - 2(z - 0) = 0 2x - 2 + y + 1 - 2z = 0 2x + y - 2z -1 = 0

Equação Vetorial do Plano pi

A equação vetorial utiliza um ponto do plano e dois vetores diretores. Como temos o vetor normal, precisamos encontrar dois vetores que sejam paralelos ao plano.
Podemos escolher dois vetores que sejam perpendiculares ao vetor normal n = (2, 1, -2). Por exemplo:
  • u = (1, -2, 0)
  • v = (0, 2, 1)
Então, a equação vetorial fica:
r = P + su + tv r = (1, -1, 0) + s(1, -2, 0) + t(0, 2, 1)

Equações Paramétricas do Plano pi

A partir da equação vetorial, podemos separar em componentes x, y e z:
x = 1 + s y = -1 - 2s + 2t z = 0 + t

Resposta

Para o caso (a), o plano pi que passa pelo ponto P(1,-1,0) e é paralelo ao plano 2x + y - 2z - 2 = 0 possui:
  • Equação Geral: 2x + y - 2z -1 = 0
  • Equação Vetorial: r = (1, -1, 0) + s(1, -2, 0) + t(0, 2, 1)
  • Equações Paramétricas: x = 1 + s y = -1 - 2s + 2t z = t
onde s e t são parâmetros reais.

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