Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar diferentes formas de representar um plano no espaço. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver cada caso, vamos precisar entender como escrever a equação geral de um plano, a equação vetorial e as equações paramétricas. Vamos abordar cada subitem (a, b, c, d) separadamente para facilitar.
Passo 2
Parte (a)
Enunciado: Determine uma equação geral, uma equação vetorial e equações paramétricas para o plano que passa pelo ponto e é paralelo ao plano .
Conteúdo Necessário:
Equação geral do plano.
Equação vetorial do plano.
Equações paramétricas do plano.
Conceito de planos paralelos (eles possuem o mesmo vetor normal).
Resolução:
Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano dado . O vetor normal é formado pelos coeficientes de , e , ou seja, .
Como o plano é paralelo a esse plano, ele terá o mesmo vetor normal.
Equação Geral do Plano
A equação geral de um plano é dada por:
onde é um ponto no plano e são as componentes do vetor normal.
Substituindo as informações:
Equação Vetorial do Plano
A equação vetorial utiliza um ponto do plano e dois vetores diretores. Como temos o vetor normal, precisamos encontrar dois vetores que sejam paralelos ao plano.
Podemos escolher dois vetores que sejam perpendiculares ao vetor normal . Por exemplo:
Então, a equação vetorial fica:
Equações Paramétricas do Plano
A partir da equação vetorial, podemos separar em componentes , e :
Resposta
Para o caso (a), o plano que passa pelo ponto e é paralelo ao plano possui: