Seja a reta do plano que passa por e . Determine as seguintes equações que descrevem :
(a) Equação vetorial
©
(b) Equações paramétricas
(d)

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: temos uma reta no plano que passa pelos pontos e . O que a gente precisa fazer é encontrar diferentes formas de escrever a equação dessa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetor diretor, equações paramétricas e formas da equação da reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta . O vetor diretor nos dá a direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos que a reta passa. Então, usando os pontos e :
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

(a) Equação vetorial da reta
A equação vetorial de uma reta pode ser escrita usando um ponto que pertence à reta e o vetor diretor. Vamos usar o ponto e o vetor :
Onde é um parâmetro real.

Passo 4

(b) Equações paramétricas da reta
As equações paramétricas já basicamente fizemos no passo anterior, mas vamos reescrever de forma mais clara:
Aqui, é um número real que percorre todos os pontos da reta.

Passo 5

© Equação da reta na forma
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular , que representa a inclinação da reta. A fórmula para usando dois pontos é:
Agora, escolhemos um dos pontos para usar na equação. Vamos usar o ponto :

Passo 6

(d) Equação da reta na forma
Já sabemos que , então . Agora, precisamos encontrar . Podemos usar o ponto e substituir na equação:
Então, a equação fica:

Resposta

(a) Equação vetorial:
(b) Equações paramétricas:
© Equação na forma :
(d) Equação na forma :

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Determine uma equação geral, uma equação vetorial e equações paramétricas para o plano do espaço, nos seguintes casos:
(a) passa pelo ponto e é paralelo ao plano .
(b) passa pelo ponto e é perpendicular à reta descrita pelas equações .
© passa pelos pontos e .
(d) passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .
Determine a interseção da reta com o plano :
(a) e
(b) e
© e
(d) e