Seja r a reta do plano R^2 que passa por A=(1,3) e B=(2,-1). Determine as seguintes equações que descrevem r :
(a) Equação vetorial
© y-y0=m(x-x0)
(b) Equações paramétricas
(d) y=a x+b

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: temos uma reta no plano que passa pelos pontos e . O que a gente precisa fazer é encontrar diferentes formas de escrever a equação dessa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetor diretor, equações paramétricas e formas da equação da reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta d = B - A = (2 - 1, -1 - 3) = (1, -4) . O vetor diretor nos dá a direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos que a reta passa. Então, usando os pontos e :
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

(a) Equação vetorial da reta x = 1 + 1 cdot t y = 3 - 4 cdot t
A equação vetorial de uma reta pode ser escrita usando um ponto que pertence à reta e o vetor diretor. Vamos usar o ponto e o vetor :
Onde é um parâmetro real.

Passo 4

(b) Equações paramétricas da reta x(t) = 1 + t y(t) = 3 - 4t
As equações paramétricas já basicamente fizemos no passo anterior, mas vamos reescrever de forma mais clara:
Aqui, é um número real que percorre todos os pontos da reta.

Passo 5

© Equação da reta na forma m = yB - yAxB - xA = -1 - 32 - 1 = -41 = -4
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular y - 3 = -4(x - 1) , que representa a inclinação da reta. A fórmula para usando dois pontos é:
Agora, escolhemos um dos pontos para usar na equação. Vamos usar o ponto :

Passo 6

(d) Equação da reta na forma 3 = -4(1) + b 3 = -4 + b b = 3 + 4 b = 7
Já sabemos que y = -4x + 7 , então . Agora, precisamos encontrar . Podemos usar o ponto e substituir na equação:
Então, a equação fica:

Resposta

(a) Equação vetorial:
x = 1 + t y = 3 - 4t
(b) Equações paramétricas:
x(t) = 1 + t y(t) = 3 - 4t
© Equação na forma y - 3 = -4(x - 1) :
y = -4x + 7
(d) Equação na forma :

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