Encontre a interseção entre as retas r:(x, y, z)=(-1,-4,2)+t(2,-5,3) e s: x-32=y+145= z-8-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar o ponto onde as duas retas, r e s, se cruzam no espaço tridimensional. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente a interseção de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar escrever as equações das retas de forma que a gente consiga igualar as coordenadas e encontrar um ponto comum a ambas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas.
Para a reta r, a equação dada é:
r: (x, y, z) = (-1, -4, 2) + t(2, -5, 3)
Isso significa que:
x = -1 + 2t y = -4 - 5t z = 2 + 3t
Para a reta s, a equação está na forma simétrica:
s: x-32 = y+145 = z-8-3
Podemos reescrever isso em termos paramétricos usando um parâmetro, digamos k:
x = 3 + 2k y = -14 + 5k z = 8 - 3k

Passo 3

Agora, queremos encontrar um ponto que esteja nas duas retas, ou seja, um ponto (x, y, z) que satisfaça as equações de ambas as retas para alguns valores de t e k. Então, vamos igualar as coordenadas de r e s:
-1 + 2t = 3 + 2k (1) -4 - 5t = -14 + 5k (2) 2 + 3t = 8 - 3k (3)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de t e k.

Passo 4

Vamos começar com a equação (1):
-1 + 2t = 3 + 2k Rightarrow 2t - 2k = 4 Rightarrow t - k = 2 (4)
Agora, a equação (2):
-4 - 5t = -14 + 5k Rightarrow -5t - 5k = -10 Rightarrow t + k = 2 (5)
Agora, vamos somar as equações (4) e (5):
(t - k) + (t + k) = 2 + 2 2t = 4 t = 2
Substituindo t = 2 na equação (5):
2 + k = 2 k = 0
Agora, vamos verificar na equação (3) para confirmar:
2 + 3(2) = 8 - 3(0) 2 + 6 = 8 8 = 8 (Confere!)

Resposta

O ponto de interseção das retas r e s é (3, -4, 8).

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