Realize o estudo das seguintes parábolas (Vértice, Foco, Diretriz e Gráfico): 12 y^2=x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação da parábola 12 y^2 = x e precisamos estudar suas características principais: vértice, foco, diretriz e o gráfico. Para isso, vamos usar a teoria das parábolas, que nos ajuda a identificar essas partes importantes a partir da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de uma forma que fique mais fácil de identificar suas partes. A equação dada é:
12 y^2 = x
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
y^2 = 2x
Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola horizontal, que é:
y^2 = 4p x
Onde é a distância do vértice até o foco.

Passo 3

Comparando a equação simplificada 4p = 2 implies p = 24 = 12 com a forma padrão , vemos que:
Então, . Isso significa que o foco está a unidade de distância do vértice na direção positiva do eixo .

Passo 4

Agora, vamos identificar o vértice da parábola. Na forma padrão Vértice: (0, 0) , o vértice está na origem . Então, o vértice da nossa parábola é:
é

Passo 5

Com o valor de Foco: ( 12, 0 ) , podemos encontrar o foco. Como é positivo, o foco está à direita do vértice no eixo . Portanto, as coordenadas do foco são:

Passo 6

A diretriz é uma reta que fica oposta ao foco em relação ao vértice. A equação da diretriz na forma padrão é:
x = -p
Substituindo Diretriz: x = -12 :

Passo 7

Por último, vamos descrever o gráfico da parábola. A equação representa uma parábola que abre para a direita, com o vértice na origem . O foco está a unidade à direita do vértice, e a diretriz é uma linha vertical a unidade à esquerda do vértice.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Gráfico: Uma parábola que abre para a direita, com vértice na origem, foco em e diretriz na reta .

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