Realize o estudo das seguintes parábolas (Vértice, Foco, Diretriz e Gráfico):
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação da parábola
e precisamos estudar suas características principais: vértice, foco, diretriz e o gráfico. Para isso, vamos usar a teoria das parábolas, que nos ajuda a identificar essas partes importantes a partir da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de uma forma que fique mais fácil de identificar suas partes. A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola horizontal, que é:
Onde
é a distância do vértice até o foco.
Passo 3
Comparando a equação simplificada
com a forma padrão
, vemos que:
Então,
. Isso significa que o foco está a
unidade de distância do vértice na direção positiva do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos identificar o vértice da parábola. Na forma padrão
, o vértice está na origem
. Então, o vértice da nossa parábola é:
Passo 5
Com o valor de
, podemos encontrar o foco. Como
é positivo, o foco está à direita do vértice no eixo
. Portanto, as coordenadas do foco são:
Passo 6
A diretriz é uma reta que fica oposta ao foco em relação ao vértice. A equação da diretriz na forma padrão é:
Substituindo
:
Passo 7
Por último, vamos descrever o gráfico da parábola. A equação
representa uma parábola que abre para a direita, com o vértice na origem
. O foco está a
unidade à direita do vértice, e a diretriz é uma linha vertical a
unidade à esquerda do vértice.
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Gráfico: Uma parábola que abre para a direita, com vértice na origem, foco em
e diretriz na reta .