Realize o estudo das seguintes parábolas (Vértice, Foco, Diretriz e Gráfico): y+2 x^2=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos analisar a parábola dada pela equação , encontrando o vértice, o foco, a diretriz e desenhando o gráfico. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola em sua forma padrão. A forma padrão de uma parábola vertical é y = -2x^2 , onde é o vértice.
A equação dada é . Vamos isolar o :
Comparando com a forma padrão, vemos que , e . Portanto, o vértice da parábola está no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A distância do vértice ao foco, chamada de “focal”, é dada por Focal = 14 times (-2) = -18 .
Aqui, (0, 0 - 18) = (0, -18) , então:
Como é negativo, a parábola abre para baixo. Portanto, o foco está abaixo do vértice. As coordenadas do foco são , ou seja:

Passo 4

A diretriz da parábola é uma linha reta oposta à abertura da parábola em relação ao vértice, localizada a uma distância igual à focal. Sua equação é dada por y = 0 - (-18) = 18 .
Substituindo os valores:
Portanto, a diretriz é a reta .

Passo 5

Por fim, vamos descrever o gráfico da parábola. Sabemos que a parábola tem vértice em , abre para baixo (porque ), tem foco em e diretriz na reta . O gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo , posicionado conforme descrito.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Gráfico: Parábola com vértice em , abrindo para baixo, foco em e diretriz na reta .

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