Realize o estudo das seguintes parábolas (Vértice, Foco, Diretriz e Gráfico):
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos analisar a parábola dada pela equação
, encontrando o vértice, o foco, a diretriz e desenhando o gráfico. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica sobre parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola em sua forma padrão. A forma padrão de uma parábola vertical é
, onde
é o vértice.
A equação dada é
. Vamos isolar o
:
Comparando com a forma padrão, vemos que
,
e
. Portanto, o vértice da parábola está no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A distância do vértice ao foco, chamada de “focal”, é dada por
.
Aqui,
, então:
Como
é negativo, a parábola abre para baixo. Portanto, o foco está abaixo do vértice. As coordenadas do foco são
, ou seja:
Passo 4
A diretriz da parábola é uma linha reta oposta à abertura da parábola em relação ao vértice, localizada a uma distância igual à focal. Sua equação é dada por
.
Substituindo os valores:
Portanto, a diretriz é a reta
.
Passo 5
Por fim, vamos descrever o gráfico da parábola. Sabemos que a parábola tem vértice em
, abre para baixo (porque
), tem foco em
e diretriz na reta
. O gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo
, posicionado conforme descrito.
Resposta
-
Vértice:
-
Foco:
-
Diretriz:
-
Gráfico: Parábola com vértice em
, abrindo para baixo, foco em e diretriz na reta .