Determine a equação geral do plano determinado pelas retas descritas abaixo:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos a equação geral do plano que é definido pelas retas dadas. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, mais especificamente, como encontrar a equação de um plano a partir de duas retas no espaço. Para isso, vamos precisar identificar as direções das retas, encontrar um vetor normal ao plano e usar um ponto que pertença ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as duas retas de forma mais clara, usando equações paramétricas.
A reta é dada por:
Isso significa que:
Aqui, é o parâmetro da reta.
A reta é dada por:
Para facilitar, vamos representar essa reta também de forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro dessa reta de . Assim:
Portanto, as equações paramétricas da reta são:
Passo 3
Agora, precisamos identificar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor indica a direção em que a reta “aponta” no espaço.
Para a reta , observando as equações paramétricas:
Podemos ver que o vetor diretor é:
Para a reta , das equações paramétricas:
O vetor diretor é:
Passo 4
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a esse plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e é fundamental para definir sua equação.
Para encontrar o vetor normal , vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores das retas e :
Calculando:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 , vamos usar a forma ponto-normal da equação do plano. Essa forma é dada por:
x = 2 + 2(0) = 2 y = 2(0) = 0 z = 0
Onde é o vetor normal e é um ponto que pertence ao plano.
Vamos escolher um ponto que está em uma das retas, por exemplo, na reta . Se colocarmos na reta :