Determine a equação geral do plano determinado pelas retas descritas abaixo:
r:(x, y, z)=(2+2 t, 2 t, t) ; s: x-2=y=z

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos a equação geral do plano que é definido pelas retas dadas. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, mais especificamente, como encontrar a equação de um plano a partir de duas retas no espaço. Para isso, vamos precisar identificar as direções das retas, encontrar um vetor normal ao plano e usar um ponto que pertença ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as duas retas de forma mais clara, usando equações paramétricas.
A reta (x, y, z) = (2 + 2t, 2t, t) é dada por:
x = 2 + 2t y = 2t z = t
Isso significa que:
x - 2 = y = z
Aqui, y = lambda z = lambda x - 2 = lambda implies x = lambda + 2 é o parâmetro da reta.
A reta x = 2 + lambda y = lambda z = lambda é dada por:
Para facilitar, vamos representar essa reta também de forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro dessa reta de . Assim:
Portanto, as equações paramétricas da reta são:

Passo 3

Agora, precisamos identificar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor indica a direção em que a reta “aponta” no espaço.
Para a reta x = 2 + 2t y = 2t z = t , observando as equações paramétricas:
u = (2, 2, 1)
Podemos ver que o vetor diretor x = 2 + lambda y = lambda z = lambda é:
v = (1, 1, 1)
Para a reta , das equações paramétricas:
O vetor diretor é:

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a esse plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e é fundamental para definir sua equação.
Para encontrar o vetor normal n = u times v , vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores das retas n = i & j & k 2 & 2 & 1 1 & 1 & 1 = i(2 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(2 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(2 cdot 1 - 2 cdot 1) e n = i(1) - j(1) + k(0) = (1, -1, 0) :
Calculando:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 , vamos usar a forma ponto-normal da equação do plano. Essa forma é dada por:
x = 2 + 2(0) = 2 y = 2(0) = 0 z = 0
Onde é o vetor normal e é um ponto que pertence ao plano.
Vamos escolher um ponto que está em uma das retas, por exemplo, na reta . Se colocarmos na reta :
Então, o ponto está no plano.

Passo 6

Substituindo os valores na forma ponto-normal:
1(x - 2) + (-1)(y - 0) + 0(z - 0) = 0
Simplificando:
x - 2 - y = 0 x - y - 2 = 0
Essa é a equação geral do plano.

Resposta

A equação geral do plano é:
x - y - 2 = 0

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