Represente geometricamente os seguintes planos:
a) 3 x+2 y-4 z+2=0
b) -x+3 y-1=0
c) 3 z+2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que representar geometricamente três planos diferentes definidos por equações. Isso faz parte da Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como cada equação descreve um plano e quais são suas características principais, como vetores normais e interseções com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é . Aqui, , e são os coeficientes que formam o vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que é perpendicular ao plano. Esse vetor é super importante porque ele nos ajuda a entender a inclinação e a orientação do plano no espaço.

Passo 3

Vamos começar com o item a): 3x + 2(0) - 4(0) + 2 = 0 Rightarrow 3x + 2 = 0 Rightarrow x = -23 .
  • Vetor Normal: Os coeficientes de 3(0) + 2y - 4(0) + 2 = 0 Rightarrow 2y + 2 = 0 Rightarrow y = -1 , 3(0) + 2(0) - 4z + 2 = 0 Rightarrow -4z + 2 = 0 Rightarrow z = 12 e nos dão o vetor normal, que é .
  • Interseções com os Eixos:
    • Eixo X: Para encontrar onde o plano corta o eixo , deixamos e : Então, o ponto de interseção com o eixo é .
    • Eixo Y: Deixando e : Ponto de interseção: .
    • Eixo Z: Deixando e : Ponto de interseção: .

Passo 4

Agora, no item b): -x + 3(0) - 1 = 0 Rightarrow -x - 1 = 0 Rightarrow x = -1 .
  • Vetor Normal: Aqui, o vetor normal é -0 + 3y - 1 = 0 Rightarrow 3y - 1 = 0 Rightarrow y = 13 porque o termo de está ausente, indicando que o plano é paralelo ao eixo .
  • Interseções com os Eixos:
    • Eixo X: , : Ponto: .
    • Eixo Y: , : Ponto: .
    • Eixo Z: O plano é paralelo ao eixo , então não tem interseção com ele.

Passo 5

Por fim, o item c): 3z + 2 = 0 Rightarrow z = -23 .
  • Vetor Normal: Aqui, o vetor normal é , indicando que o plano é paralelo aos eixos e , e perpendicular ao eixo .
  • Interseções com os Eixos:
    • Eixo Z: Para encontrar onde o plano corta o eixo , deixamos e : Ponto de interseção: .
    • Eixo X e Y: Como o plano é paralelo a esses eixos, não há interseção.

Resposta

Assim, as representações geométricas dos planos são:
a) Plano com vetor normal , interceptando os eixos em , e .
b) Plano com vetor normal , interceptando os eixos em e , sendo paralelo ao eixo .
c) Plano com vetor normal , interceptando apenas o eixo em , sendo paralelo aos eixos e .

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