Determine a equação do plano que contém a intersecção dos planos
e
e passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de um plano que contém a interseção de dois planos dados pelas equações
e
e que também passa pelo ponto
.
Matéria envolvida: Geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente o estudo de planos e suas interseções.
O que vamos precisar:
- Saber que a interseção de dois planos é uma reta.
- Entender que qualquer plano que contenha essa interseção pode ser escrito como uma combinação linear das equações dos planos dados.
- Usar as coordenadas do ponto fornecido para encontrar os coeficientes dessa combinação linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a interseção de dois planos
e
é uma reta. Qualquer plano que contenha essa reta pode ser descrito como uma combinação linear das equações desses dois planos.
Isso significa que a equação do plano que queremos encontrar,
, pode ser escrita como:
onde
é um número real que vamos determinar.
Passo 3
Vamos substituir as equações de
e
na expressão de
:
Agora, vamos distribuir o
:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Essa é a equação geral do plano
que estamos buscando, em termos de
.
Passo 5
Agora, sabemos que esse plano
passa pelo ponto
. Isso significa que as coordenadas desse ponto devem satisfazer a equação do plano.
Vamos substituir
,
e
na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Calculando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos o valor de
, vamos substituir de volta na equação do plano
:
Calculando cada coeficiente:
Passo 9
Substituindo de volta:
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 5 para eliminar os denominadores:
Resposta
A equação do plano que contém a interseção dos planos dados e passa pelo ponto
é: