Determine a equação do plano que contém a intersecção dos planos pi1: 4 x+y-3 z-2=0 e pi2: 3 x-y+z+1=0 e passa pelo ponto (1,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de um plano que contém a interseção de dois planos dados pelas equações
pi1: 4x + y - 3z - 2 = 0
e
pi2: 3x - y + z + 1 = 0,
e que também passa pelo ponto .
Matéria envolvida: Geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente o estudo de planos e suas interseções.
O que vamos precisar:
  • Saber que a interseção de dois planos é uma reta.
  • Entender que qualquer plano que contenha essa interseção pode ser escrito como uma combinação linear das equações dos planos dados.
  • Usar as coordenadas do ponto fornecido para encontrar os coeficientes dessa combinação linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a interseção de dois planos pi = pi1 + lambda pi2 e é uma reta. Qualquer plano que contenha essa reta pode ser descrito como uma combinação linear das equações desses dois planos.
Isso significa que a equação do plano que queremos encontrar, , pode ser escrita como:
onde é um número real que vamos determinar.

Passo 3

Vamos substituir as equações de pi = (4x + y - 3z - 2) + lambda (3x - y + z + 1) = 0 e 4x + y - 3z - 2 + 3lambda x - lambda y + lambda z + lambda = 0 na expressão de :
Agora, vamos distribuir o :

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes:
(4 + 3lambda)x + (1 - lambda)y + (-3 + lambda)z + (-2 + lambda) = 0
Essa é a equação geral do plano que estamos buscando, em termos de .

Passo 5

Agora, sabemos que esse plano (4 + 3lambda)(1) + (1 - lambda)(1) + (-3 + lambda)(2) + (-2 + lambda) = 0 passa pelo ponto 4 + 3lambda + 1 - lambda - 6 + 2lambda - 2 + lambda = 0 . Isso significa que as coordenadas desse ponto devem satisfazer a equação do plano.
Vamos substituir , e na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
4 + 1 - 6 - 2 + (3lambda - lambda + 2lambda + lambda) = 0
Calculando:
(-3) + (5lambda) = 0

Passo 7

Resolvendo para 5lambda = 3 implies lambda = 35 :

Passo 8

Agora que temos o valor de (4 + 3 cdot 35)x + (1 - 35)y + (-3 + 35)z + (-2 + 35) = 0 , vamos substituir de volta na equação do plano 4 + 95 = 295, 1 - 35 = 25, -3 + 35 = -125, -2 + 35 = -75 :
Calculando cada coeficiente:

Passo 9

Substituindo de volta:
295x + 25y - 125z - 75 = 0
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 5 para eliminar os denominadores:
29x + 2y - 12z - 7 = 0

Resposta

A equação do plano que contém a interseção dos planos dados e passa pelo ponto 29x + 2y - 12z - 7 = 0 é:

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