Encontre a equação do plano que passa pelos pontos (1,2,3),(2,-1,4) e (-1,1,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos no espaço: (1,2,3), (2,-1,4) e (-1,1,5). Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como encontrar a equação de um plano a partir de três pontos. Para isso, vamos precisar calcular vetores a partir desses pontos e usar o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos nomear os pontos para facilitar: seja P(1,2,3), Q(2,-1,4) e R(-1,1,5).

Passo 3

Vamos formar dois vetores que estão no plano usando esses pontos. Um vetor pode ser $ \vec{PQ} $ e o outro $ \vec{PR} $.
Calculando $ \vec{PQ} $:
PQ
Calculando $ \vec{PR} $:
PR

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, precisamos calcular o produto vetorial desses dois vetores, $ \vec{PQ} \times \vec{PR} $.
PQ times PR
Calculando o determinante:
n = PQ times PR = i & j & k 1 & -3 & 1 -2 & -1 & 2
n = i((-3)(2) - (1)(-1)) - j((1)(2) - (1)(-2)) + k((1)(-1) - (-3)(-2))
n = i(-6 +1) - j(2 +2) + k(-1 -6)
n = i(-5) - j(4) + k(-7)
Podemos simplificar multiplicando por n = (-5, -4, -7) :
-1

Passo 5

Agora que temos o vetor normal $ \vec{n} = (5, 4, 7) $, podemos usar a equação geral do plano:
n = (5, 4, 7)
Escolhemos um dos pontos dados para 5(x - x0) + 4(y - y0) + 7(z - z0) = 0 . Vamos usar o ponto (x0, y0, z0):
P(1,2,3)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
5x -5 + 4y -8 + 7z -21 = 0
5x + 4y + 7z -34 = 0

Resposta

A equação do plano que passa pelos pontos dados é:
5x + 4y + 7z -34 = 0

Exercícios relacionados