Num laboratório, foram fabricadas, para fins de pesquisa científica, três tipos de liga metálica: I, II e III. O processo de fabricação exigiu o uso de vários equipamentos, em particular, o do aparelho .
Para a produção de cada kg da liga I foram utilizados 40 g do metal A e 20 g do metal B; para cada kg de II, 100 g de metal A e 80 g de metal B e, para cada kg de de A e 80 g de B. O tempo de uso do aparelho X , em minutos, gasto na fabricação de cada kg das ligas I, II e III foi, respectivamente, de 24,12 e 24 (sendo que não houve produção simultânea de ligas distintas). Sabendo que foram utilizados um total de 460 g do metal A e 420 g do metal B , e que foram necessários 96 minutos de uso do aparelho , determine quantos kg de cada uma
das ligas I, II e III foram fabricados.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem três tipos de ligas metálicas (I, II e III) que usam diferentes quantidades dos metais A e B e também diferentes tempos no aparelho X. Precisamos descobrir quantos quilos de cada liga foram fabricados, sabendo as quantidades totais de metal A e B usadas e o tempo total de uso do aparelho.

Passo 2

Vamos chamar:
  • = quilos da liga I
  • = quilos da liga II
  • = quilos da liga III

Passo 3

Montar as equações com base no uso do metal A:
  • Cada kg da liga I usa 40 g de A
  • Cada kg da liga II usa 100 g de A
  • Cada kg da liga III usa 20 g de A
Então:

Passo 4

Montar as equações com base no uso do metal B:
  • Cada kg da liga I usa 20 g de B
  • Cada kg da liga II usa 80 g de B
  • Cada kg da liga III usa 80 g de B
Então:

Passo 5

Montar as equações com base no tempo de uso do aparelho X:
  • Cada kg da liga I usa 24 minutos
  • Cada kg da liga II usa 12 minutos
  • Cada kg da liga III usa 24 minutos
Então:

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 7

Simplificando a terceira equação dividindo por 12:
Agora o sistema fica:

Passo 8

Vamos resolver a terceira equação para :

Passo 9

Substituir nas duas primeiras equações:
1ª equação:
Dividindo por -20:
2ª equação:
Dividindo por -20:

Passo 10

Agora temos um sistema com duas equações:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 11

Multiplicando a segunda equação por 2:
Multiplicando a primeira equação por 1:
Agora, eliminamos :
Multiplicando a primeira equação por 14 e a segunda por 8:
Subtraindo as equações:

Passo 12

Substituindo na equação :

Passo 13

Agora, substituindo e na equação :

Resposta

Foram fabricados 1 kg da liga I, 4 kg da liga II e 1 kg da liga III.

Exercícios relacionados

O conjunto solução do sistema, em ,

pode ser descrito por

Determine a equação geral do plano de equações:
Determine a equação do plano que passa:
pelo ponto e é paralelo ao plano ;
Determine a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular aos planos e .