Num laboratório, foram fabricadas, para fins de pesquisa científica, três tipos de liga metálica: I, II e III. O processo de fabricação exigiu o uso de vários equipamentos, em particular, o do aparelho X.
Para a produção de cada kg da liga I foram utilizados 40 g do metal A e 20 g do metal B; para cada kg de II, 100 g de metal A e 80 g de metal B e, para cada kg de III, 20 g de A e 80 g de B. O tempo de uso do aparelho X , em minutos, gasto na fabricação de cada kg das ligas I, II e III foi, respectivamente, de 24,12 e 24 (sendo que não houve produção simultânea de ligas distintas). Sabendo que foram utilizados um total de 460 g do metal A e 420 g do metal B , e que foram necessários 96 minutos de uso do aparelho X, determine quantos kg de cada uma
das ligas I, II e III foram fabricados.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem três tipos de ligas metálicas (I, II e III) que usam diferentes quantidades dos metais A e B e também diferentes tempos no aparelho X. Precisamos descobrir quantos quilos de cada liga foram fabricados, sabendo as quantidades totais de metal A e B usadas e o tempo total de uso do aparelho.

Passo 2

Vamos chamar:
  • = quilos da liga I
  • = quilos da liga II
  • = quilos da liga III

Passo 3

Montar as equações com base no uso do metal A:
  • Cada kg da liga I usa 40 g de A
  • Cada kg da liga II usa 100 g de A
  • Cada kg da liga III usa 20 g de A
Então:
40x + 100y + 20z = 460

Passo 4

Montar as equações com base no uso do metal B:
  • Cada kg da liga I usa 20 g de B
  • Cada kg da liga II usa 80 g de B
  • Cada kg da liga III usa 80 g de B
Então:
20x + 80y + 80z = 420

Passo 5

Montar as equações com base no tempo de uso do aparelho X:
  • Cada kg da liga I usa 24 minutos
  • Cada kg da liga II usa 12 minutos
  • Cada kg da liga III usa 24 minutos
Então:
24x + 12y + 24z = 96

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações:
40x + 100y + 20z = 460 20x + 80y + 80z = 420 24x + 12y + 24z = 96
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 7

Simplificando a terceira equação dividindo por 12:
2x + y + 2z = 8
Agora o sistema fica:
40x + 100y + 20z = 460 20x + 80y + 80z = 420 2x + y + 2z = 8

Passo 8

Vamos resolver a terceira equação para y = 8 - 2x - 2z :

Passo 9

Substituir 40x + 100(8 - 2x - 2z) + 20z = 460 nas duas primeiras equações:
1ª equação:
40x + 800 - 200x - 200z + 20z = 460
-160x - 180z = -340
8x + 9z = 17
Dividindo por -20:
20x + 80(8 - 2x - 2z) + 80z = 420
2ª equação:
20x + 640 - 160x - 160z + 80z = 420
-140x - 80z = -220
7x + 4z = 11
Dividindo por -20:

Passo 10

Agora temos um sistema com duas equações:
8x + 9z = 17 7x + 4z = 11
Vamos resolver esse sistema.

Passo 11

Multiplicando a segunda equação por 2:
14x + 8z = 22
Multiplicando a primeira equação por 1:
8x + 9z = 17
Agora, eliminamos 112x + 126z = 238 :
Multiplicando a primeira equação por 14 e a segunda por 8:
112x + 64z = 176
62z = 62
Subtraindo as equações:
z = 1

Passo 12

Substituindo 7x + 4(1) = 11 na equação 7x = 7 :
x = 1

Passo 13

Agora, substituindo y = 8 - 2(1) - 2(1) e y = 4 na equação :

Resposta

Foram fabricados 1 kg da liga I, 4 kg da liga II e 1 kg da liga III.

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