Encontre uma equação geral do plano que contém as retas paralelas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação geral de um plano que contém duas retas paralelas, dadas pelas equações paramétricas de e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar a equação de um plano que contém retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta está descrita por:
Aqui, o vetor diretor de é , já que são os coeficientes de em cada coordenada.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta :
O vetor diretor de é . Notamos que , o que confirma que as retas e são paralelas.
Passo 4
Para encontrar a equação do plano , precisamos de um vetor normal a esse plano. Esse vetor normal deve ser perpendicular aos vetores diretores das retas e também ao vetor que liga um ponto da reta a um ponto da reta .
Primeiro, escolhemos pontos em cada reta. Por exemplo:
Na reta , quando , temos o ponto .
Na reta , quando , temos o ponto .
O vetor que liga a é .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano . Esse vetor é perpendicular tanto ao vetor diretor quanto ao vetor . Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 6
Com o vetor normal e um ponto no plano, por exemplo, , podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
Substituindo:
Simplificando a equação:
Podemos multiplicar todos os termos por para deixar a equação mais convencional: