Encontre uma equação geral do plano que contém as retas paralelas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação geral de um plano pi que contém duas retas paralelas, dadas pelas equações paramétricas de r e s. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar a equação de um plano que contém retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r e s. A reta r está descrita por:
r: x = 3 + 2lambda y = lambda z = 1 - lambda
Aqui, o vetor diretor de r é vr = (2, 1, -1), já que são os coeficientes de lambda em cada coordenada.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta s:
s: x = 1 + 4gamma y = -2 + 2gamma z = -2gamma
O vetor diretor de s é vs = (4, 2, -2). Notamos que vs = 2 cdot vr, o que confirma que as retas r e s são paralelas.
Passo 4
Para encontrar a equação do plano pi, precisamos de um vetor normal a esse plano. Esse vetor normal deve ser perpendicular aos vetores diretores das retas e também ao vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s.
Primeiro, escolhemos pontos em cada reta. Por exemplo:
Na reta r, quando lambda = 0, temos o ponto P(3, 0, 1).
Na reta s, quando gamma = 0, temos o ponto Q(1, -2, 0).
O vetor que liga P a Q é PQ = Q - P = (1-3, -2-0, 0-1) = (-2, -2, -1).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal n ao plano pi. Esse vetor é perpendicular tanto ao vetor diretor vr quanto ao vetor PQ. Para isso, usamos o produto vetorial: