Encontre uma equação geral do plano pi que contém as retas paralelas:
r:l x=3+2 lambda y=lambda z=1-lambda e s:l x=1+4 gamma y=-2+2 gamma z=-2 gamma

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação geral de um plano pi que contém duas retas paralelas, dadas pelas equações paramétricas de r e s. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar a equação de um plano que contém retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r e s. A reta r está descrita por:
r: x = 3 + 2lambda y = lambda z = 1 - lambda
Aqui, o vetor diretor de r é vr = (2, 1, -1), já que são os coeficientes de lambda em cada coordenada.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta s:
s: x = 1 + 4gamma y = -2 + 2gamma z = -2gamma
O vetor diretor de s é vs = (4, 2, -2). Notamos que vs = 2 cdot vr, o que confirma que as retas r e s são paralelas.

Passo 4

Para encontrar a equação do plano pi, precisamos de um vetor normal a esse plano. Esse vetor normal deve ser perpendicular aos vetores diretores das retas e também ao vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s.
Primeiro, escolhemos pontos em cada reta. Por exemplo:
  • Na reta r, quando lambda = 0, temos o ponto P(3, 0, 1).
  • Na reta s, quando gamma = 0, temos o ponto Q(1, -2, 0).
O vetor que liga P a Q é PQ = Q - P = (1-3, -2-0, 0-1) = (-2, -2, -1).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal n ao plano pi. Esse vetor é perpendicular tanto ao vetor diretor vr quanto ao vetor PQ. Para isso, usamos o produto vetorial:
n = vr times PQ
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 2 & 1 & -1 -2 & -2 & -1 = i(1 cdot (-1) - (-1) cdot (-2)) - j(2 cdot (-1) - (-1) cdot (-2)) + k(2 cdot (-2) - 1 cdot (-2))
Simplificando:
n = i(-1 - 2) - j(-2 - 2) + k(-4 + 2) = (-3, 4, -2)

Passo 6

Com o vetor normal n = (-3, 4, -2) e um ponto no plano, por exemplo, P(3, 0, 1), podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo:
-3(x - 3) + 4(y - 0) - 2(z - 1) = 0
Simplificando a equação:
-3x + 9 + 4y - 2z + 2 = 0 -3x + 4y - 2z + 11 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional:
3x - 4y + 2z - 11 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi que contém as retas r e s é:
3x - 4y + 2z - 11 = 0

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