Encontre uma equação geral do plano que contém as retas paralelas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação geral de um plano que contém duas retas paralelas, dadas pelas equações paramétricas de e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar a equação de um plano que contém retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta está descrita por:
Aqui, o vetor diretor de é , já que são os coeficientes de em cada coordenada.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta :
O vetor diretor de é . Notamos que , o que confirma que as retas e são paralelas.

Passo 4

Para encontrar a equação do plano , precisamos de um vetor normal a esse plano. Esse vetor normal deve ser perpendicular aos vetores diretores das retas e também ao vetor que liga um ponto da reta a um ponto da reta .
Primeiro, escolhemos pontos em cada reta. Por exemplo:
  • Na reta , quando , temos o ponto .
  • Na reta , quando , temos o ponto .
O vetor que liga a é .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano . Esse vetor é perpendicular tanto ao vetor diretor quanto ao vetor . Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 6

Com o vetor normal e um ponto no plano, por exemplo, , podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
Substituindo:
Simplificando a equação:
Podemos multiplicar todos os termos por para deixar a equação mais convencional:

Resposta

A equação geral do plano que contém as retas e é:

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Exercício 1.1. Para o conjunto de matrizes , determine: b) O elemento identidade para a operação de multiplicação de matrizes.